AiNAU2010

П.А. Машаров]

§ 7. Упражнения к теме: ”Тождественные преобразования”

19

11. Упростите выражение (задания для работы дома).

1

√a

a 4√a+2

√ 3

1/4

4

1/4

1

1 a

8

√

−

√a

√ 4 3

−

6

a

√

5 7

√b (a b)−

a b

4

1/4

√

2

−

−

b

2 3

a b

a b

−

a)

√

√

−

;

b)

−

√

a

2

a

+1

;

a−2

−

3

a−a−2

·

2−

16a

a

−

2

− −

·

√ab −

√a + b

−

√

3

ab

·

6

1,5

3

3/8

8

2

4

4

1

c)

3

−0,5

a b ;

x ;

d)

b√

a

+

√

2

8

;

e)

8 8x + 2x2

f) |x − 1| + |x + 1|.

2

3

x4 − 4−x3 + 16x − 16

−

x3 + x

x2 − 4

12. Сократите дробь.

a

√

b

b

2

2

c x5 −

4x + 3

2y

√

3xy3

4

3x + 2 ;

)

ab ;

)

, если y < 0;

) x

−

−3

2x

2

9x + 18

(x + 3x) − 2x − 6x − 8 ;

3

3x + 2 ;

d)

x

;

e)

f)

x

−

2−

4

−

14)

x

4

x

2

x

4x + 3

(3 −

x)(2x

+ 3x

−

√

−

5

+ 4

−

5

4

2

g)

(1 − x)

− (1 + 5x)

;

h)

a +

ab при a < 0, b < 0;

i)

c

−5

3c

+ 2.

x

2

b + √ab

+ 1

c

13. Вычислите.

a) log2 16;

b) log3

1

;

c) log√

1;

81

2

d) log√

8;

e) log 1 8;

f) 25log5 3;

2

√

4

g)

2 log49 2

;

h)

2 log5

3

;

i) log7 196 − 2 log7 2;

7

(

5)

j)

10lg 2+lg 3

;

k)

1

(1 + 9log3 7)log50 3

;

l)

102−lg 2

−

25log5 7

;

log

3

3

3

m)

7

;

n) 3log√3 7;

−log2 35;

√7

√8

o) 2 log2 6 + log2 359

p) log2 log5

;

q) log√

log5 125;

r)

2

(log3 81 + 16log2 3)log85 25;

5

1

3

5

1

s)

3

[(log

5)(log

8)]

log

128

log

;

t)

log3

2u)

5

·

2 125 ;

log8 27

v)

2

1

1

;

w)

(log2 14) +log2

14·log2

7−2(log2

7)

.

log2 log

5

125

log

2

14+2 log 7

2

14. Вычислите (задания для работы дома).

a) 3 log

√

b, если loga b = 2;

b) log

√

, если loga b = 14;

√b +log

√b

+ 4 log

b

a

a3

a

a3

√

4

a

1

√

√

3

b

b

2+

b

b

a2

√

a2

1

1

1

2

c)

(2

+ 25

+ 1)

;

d) 27

log√

6

3

+ 4 ·

5

log2

2

− 2

log5 2

· log2 16;

log3 2

2 log3

5

2

3

2

2

3 log5

5 log5

−1

×

3

3 +7log7

e)

3(log√3 2)

−4(log√3

2)

log3 5

−

1

1

;

f) (log3 2 + log2 81 + 4)

49

2

15. Вычислите.

a) tg 2α, если tg α = 1/3;

e)		2 sin α sin 2α			,
c)	tg α, если				tg (π/4) − α				= −2;
		2 sin α+sin 2α			если cos α = 1/5;
		−
g)		sin α		, если tg α = 2;
		2−5 cos α			2	√
i) cos α2 , если tg α =						15		, π < α < 32π ;
						7
k)		27 sin 2α	, если ctg α = −2						√
		√2							2;

b) sin2 α, если cos 2α = 1/4;

d) ctg α, если sin α = 0,8, α (0, π/2); f) sin2 α, если tg α = 2;

h) tg(α + 45◦), если tg α = 3;

j) sin( π3 + α), если cos α = −13 , α (0; π); l) tg α, если cos α = 1213 , α в IV четверти.

16. Вычислите (задания для работы дома).

a) ctg α − 2 ctg 2α, если tg α = 5;

c) tg2 α+ctg2 α, если tg α+ctg α = 2; e) sin 2α, если sin α + cos α = 1/2; g) sin(2α + 3π), если tg α = 2/3;

i) tg x, если sin(x + 30◦) +

√

+ sin(x − 30◦) = 2 3 cos x;

b) sin2 α−3 cos2 α , если tg α = 3;

2 sin2 α+cos2 α

d) tg β, если tg(α + β) = −1 и tg α = 3;

f)

2

√

cos α, если tg α = 3;

h)

1−sin(2x+1,5π)

, если x = π/6;

sin(π−3x)−sin(−x)

√

j) (12/π) ·

arccos(− 3/2) +

√

√

−

−

;

+ arcsin(

3/2) + arctg(

3)

k)

sin√α−cos 3α

, если α = π/24;

l) sin 930◦;

2

2

3

cos 2α

n) sin4 α − cos4 α, если tg(α/2) = 1/2.

m) sin 75◦ · sin 15◦;

17. Упростите.

a)

tg α+tg(45◦−α)

2

2

2

;

b)

cos 2α + 4 sin

α cos α;

1−tg α tg(45◦−α)

c)

(sin 10◦+sin 80◦)(cos 80◦

−

cos 10◦)

;

d) 4 cos α ·cos(α + π3 ) ·cos(α + 23π ) + cos 3α;

sin 70◦

1

1

sin 3α

cos 3α

e)

+

;

f)

sin α

− cos α ;

1+tg2 α

1+ctg2 α

g)

sin α 2 sin 2α+sin 3α

;

h)

tg( π4 +α)+tg(α−π4 )

.

−

tg 2α

tg 2α

cos α−2 cos 2α+cos 3α −

18. Упростите (задания для работы дома).

a)

1+tg β

1+sin 2β

;

b)

sin(α−π6 )

2π

− α);

c)

cos α2 (sin α+sin α2 )

;

1−tg β

− cos 2β

sin( π3 +α)

tg(

3

sin α4 cos α4 (1+cos α+cos α2 )

(sin α−sin β) +(cos α−cos β)

1−tg

8

sin

2

4

sin (

α +α)

sin (−α)

d)

2

2

;

e)

2 π

π

;

f)

3π

2

;

2 α−β

+

+

tg

π

sin2 π

ctg2(α 2π)

ctg2(α

3π )

2

sin

2

4 tg α

8

6

3

3

−

−

2

g)

2 cos

α−1

cos α−sin α

;

h)

sin α+sin 3α + cos

α−cos 3α

.

− 1−tg

2

α

1−2 sin α cos α

− cos α+sin α

sin α

cos α

Глава IV. Функции, их свойства и графики

§ 8. Определения и общие свойства функций

Пусть заданы два множества X и Y . Если каждому элементу x X поставлен в соответствие один и только один элемент y Y , обозначаемый f(x), и если каждый элемент y Y при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу x X, то говорится, что на множестве X задана однозначная функция y = f(x). Множество X называется ее областью определения (обозначается D(f)), а множество Y — множеством значений (обозначается E(f)). Элемент x X называется аргументом, или независимой переменной, а элементы y Y — значениями функции, или зависимой переменной. Если функция f принимает числовые значения, то есть E(f) R, то функция f называется числовой, если D(f) R, то функция f называется функцией числового аргумента.

20

П.А. Машаров] § 8. Определения и общие свойства функций 21

Функция может задаваться различными способами:

• аналитический способ — функция задается при помощи одной или нескольких формул, например, y = sin x, (4.12), (4.16); • графический способ — функция задается множеством точек координатной плоскости; • табличный способ — функция задается таблицей.

Графиком функции y = f(x) называется множество точек на плоскости с координатами (x; f(x)), x X = D(f).

Пусть заданы две функции y = f(x) и z = g(y), причем E(f) D(g). Тогда каждому x D(f) можно поставить в соответствие z = g(f(x)) E(g). Функция h, определяемая соответствием z = h(x) = g(f(x)), называется сложной функцией, или суперпозицией функций f и g.

Пусть функция f : X → Y обладает тем свойством, что любым двум различным значениям аргумента ставит в соответствие различные значения, то есть x1, x2 X: x1 = x2 f(x1) = f(x2). Тогда функция, определенная на Y и ставящая в соответствие каждому y Y число f−1(y) = {x X : f(x) = y}, называется обратной к f и обозначается f−1. Сама функция f в этом случае называется обратимой. Отметим, что если для функции f : X → Y существует обратная f−1 : Y → X, то (для

Функция
любого) x X f−1				f(x)	= x, y Y f f−1(y)	= y.
	y	= f(x) называется четной (нечетной) если ее область определения

симметрична относительно начала координат и для любого x D(f) выполняется равенство f(−x) = f(x) (для нечетной f(−x) = −f(x)). График четной функции симметричен относительно оси Oy. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида.

Функция y = f(x) называется периодической с периодом T > 0, если для любого x D(f) числа x ± T D(f) и выполняется равенство f(x) = f(x + T ) = f(x − T ). Периодом функции принято называть наименьший из положительных периодов.

Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей, убывающей, невозрастающей) на некотором множестве G D(f), если для любых x1, x2 G таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) (f(x1) f(x2), f(x1) > f(x2), f(x1) f(x2)). Обозначения: ↑, , ↓, . Если функция y = f(x) является неубывающей или невозрастающей на некотором множестве G, то ее называют монотонной на этом множестве. Свойства монотонных функций содержатся в заданиях 12–13 на страницах 35–36.

Пример 1. Доказать, что функция y = x2 является возрастающей на множестве

22	Глава IV. Функции, их свойства и графики	[И.В. Гридасова
[0, +∞) и убывающей на множестве (−∞, 0].

Решение. Для любых x1 и x2 таких, что 0 x1 < x2 < +∞ имеем y(x1) − y(x2) = x21 − x22 = (x1 − x2)(x1 + x2) < 0. Следовательно, y(x1) < y(x2) y = x2 возрастает на [0; +∞).

Для любых x1 и x2 таких, что −∞ < x1 < x2 0 имеем y(x1) − y(x2) = x21 − x22 =

(x1 − x2)(x1 + x2) > 0, что означает, что y = x2 убывает на (−∞; 0].

Пример 2. Доказать, что функция y = √

является возрастающей.

x + 1

Решение.

D(f) = [−1, +∞). Пусть −1 x1

< x2. Покажем, что

√

x1 + 1 <

x2 x1

−

x2

1

√

√

√

√

√

√

√

x2 + 1. Действительно,

x2 + 1

x1 + 1 =

√

+1+√

x +1

=

=

√

−√

> 0, откуда следует требуемое.

x2

+1+ x1+1

1

Пример 3. Исследовать на монотонность функцию y = 3 −

. Найти

x2

+ 2x + 2

множество ее значений.

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен f = x2 +2x+2 = (x+1)2+1. Графиком его является парабола с вершиной в точке (−1, 1), ветви которой направлены вверх,

2

+ 2x + 2 ↑

при x −1

множество значений E(f) = [1, +

∞

). Тогда

x2

x

+ 2x + 2 ↓ при x −1

1

(

2

+ 2

+ 2)

↓

при

−

1

−

1/(

+ 2 + 2)

↑

при

−

1

x

x

2

x

x

/ x2

x2

1/(x

+ 2x + 2) ↑ при x −1

1/(x + 2x + 2) ↓ при x −1

3

1/(x2 + 2x + 2)

при x

1

−

−

2

↑

−

3

− 1/(x

+ 2x + 2) ↓ при x −1

Найдем E(y). Множеством значений функции f = x2 + 2x + 2 является E(y) = [1, +∞), тогда множество значений функции 1/(x2 + 2x + 2) полуинтервал (0, 1], множество значений −1/(x2 + 2x + 2) полуинтервал [−1, 0) E(y) = [2, 3). Числовая функция f называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной) на множестве G D(f) если множество ее значений на этом множестве ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено), то есть найдется такая постоянная

MR (m R, A > 0), что для каждого x G выполняется неравенство f(x) M (f(x) m, |f(x)| A). В случае соответствующей ограниченности функции числа

M, m называют соответственно верхней и нижней гранями функции f на G.

Свойства ограниченных функций содержатся в заданиях 16–17 на стр. 36. Функция y = f(x) называется неограниченной на X, если для любого числа M > 0

существует x X такое, что |f(x)| > M.

Пример 4. Доказать, что функция y = 2cos3 x + 3 sin x ограничена на множестве R.

−x2+2x

2x2+1

П.А. Машаров] § 8. Определения и общие свойства функций 23

Решение. Так как |2cos3 x + 3 sin x| |2cos3 x| + |3 sin x| 2 + 3 = 5, то |y(x)| 5.

Пример 5. Доказать, что функция y = x22+x+6					ограничена на R.
Решение. Так как x22+x+6 = 1 +		5	x +x+1		5		, то 1 < x22+x+6	< 1 + 53	= 23
			= 1 +							.
	2	+x+1			2	3
x +x+1	x			(x+1) +		4	x +x+1	4	3
Пример 6. Доказать, что функция y = x2, x (0, +∞) неограничена сверху.

Решение. Предположим, противное, что y = x2, x (0, +∞) ограничена сверху.

	Тогда существует число A такое, что для любого x (0, +∞) справедливо неравен-
		2	2	√			2		√
	ство x				A + 1)			= A + 2		A + 1 > A,
			A (A > 0). В то же время y(x0) = x0	= (

что противоречит предположению. функция y = x2 неограничена на множестве x (0, +∞).

Пример 7. Доказать, что функция y = x · sin x не является ограниченной на R. Решение. Предположим противное, т.е, что y = x · sin x ограничена на R. Тогда

существует число C > 0 такое, что для любого x R справедливо |x · sin x| C. В то же время, например, при x = x0 = (2[C] + 12 )π получим |x0 sin x0| = π(2[C] + 12 )| sin((2[C] + 12 )π)| = (2[C] + 12 )π > [C] + 1 > C что противоречит предположению.

Пример 8. Доказать, что функция f(x) = ограничена на R.

Решение. D(f(x)) = R. По определению ограниченности должно существовать такое число M > 0, что x D(f) |−2xx22+2+1x| M

f(x) = −		21 +	2x+(1/2)	. пусть f1	= −21 — ограниченная функция. Докажем, что
			2x2+1
f2 =	2x+(1/2)	ограничена на R. Представим D(f) = D1 D2 D3 = (−∞, −1)
	2x2+1

[−1, 1] (1, +∞)

Докажем ограниченность f2 на каждом из множеств D1, D2 и D3. Тогда f2 будет ограничена на их объединении.

Пусть

x

[

−

1, 1]

f

(x)

| = |

2x+(1/2)

= |2x+(1/2)|

|2x+(1/2)|

2 x + 1

2 + 1

= 5

. |

2

2x2+1 |

2x2+1

1

|

| 2

2

2

2

Пусть x (−∞, −1) (1, +∞). |f2(x)| =

2x+(1/2)

2|x|+(1/2)

2x

+(1/2)+(1/2)

= 1

2x2+1

2x2+1

2x2+1

Таким образом, M = 21 + 25 = 3, и получили

f(x) 3.

|

|

x3+1

.

Пример 9. Доказать неограниченность функции f(x) =

x2+x+1

Решение. D(f) = R. Представим функцию в виде:

f(x) = x − 1 +

2

, где f1(x) = x

− 1, f2(x) =

2

> 0.

x2+x+1

x2+x+1

Рассмотрим f2(x) =

2

2

=

8

f2(x) ограничена на R

(x+(1/2))2+(3/4)

3/4

3

f1(x) = x − 1 неограничена на R

Для любого M > 0 |f1(x)| = |x − 1| |x| − 1 > M как только x > M + 1.

Пример 10. Доказать, что функция f(x) =

√

неограничена в D(f).

ln x

Решение. D(f)

= [1, +∞). Рассмотрим точки вида xn = en2 D(f), n N.

√

√

f(xn) =

ln(xn) =

n2

n

2

= n > M. Так как существует натуральное число,

M

ln e

=

больше

f x

неограничена в D(f).

, значит

(

)

24

Глава IV. Функции, их свойства и графики

[И.В. Гридасова

Будем говорить, что числовая функция f, определенная на множестве X, принимает в точке x0 E X наибольшее значение (наименьшее значение) на E, если для любого x E выполняется неравенство f(x) f(x0) (соответственно f(x) g(x0)).

В этом случае будем писать f(x0) = max f(x) (f(x0) = min f(x)).

E E

§ 9. Свойства некоторых функций и их графики

Линейная функция y = kx + b, k R, b R. Рассмотрим отдельно некоторые частные случаи.

Линейная функция при k = 0: y = b, b R.

1.D(y) = R; E(y) = {b}.

2.Функция четная.

3.y(0) = b; если b = 0, то y = 0 при любом x, если b = 0, то y = 0 ни при каком x.

4.Функция постоянна, не является ни строго возрастающей, ни строго убывающей ни на каком промежутке.

5.Графиком является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; b). При b = 0 график совпадает с осью абсцисс.

Линейная функция при b = 0: y = kx, k R\{0} (случай

k= 0 содержится в предыдущем при b = 0).

1.D(y) = R; E(y) = R.

2.Функция нечетная.

3.y(0) = 0; y = 0 при x = 0.

4.Если k > 0, то функция возрастает на R; если k < 0, то функция убывает на R.

5.Графиком функции является прямая, образующая с осью абсцисс угол ϕ, тангенс которого равен k и проходящая через начало координат. В этом случае график функции является графиком прямой пропорциональности.

Линейная функция при k = 0 и b = 0: y = kx + b, k

R\ {0}, b B \ {0}.

1.D(y) = R; E(y) = R.

2.Функция ни четная, ни нечетная.

3. y(0) = b; y = 0 при x = −kb .

4. Если k > 0, то функция возрастает на R; если k < 0, то функция убывает на R.

П.А. Машаров] § 9. Свойства некоторых функций и их графики 25

5. Графиком функции является прямая, образующая с осью абсцисс угол ϕ, тангенс которого равен k и проходящая через точку (0; b).

Дробно-линейная функция y = axcx++db , a, b, c, d R, ad = bc, c = 0.

1.D(y) = R \ {−dc }; E(y) = R \ {ac }.

2.Если a = d = 0, то функция нечетная; иначе — общего

вида.

3.

Пересечения с осями координат:

−ab ; 0 ,

0; db .

d

и

4.

Если

ad <

bc

убывает на

;

, то функция

c

−∞ −

c

ad > bc

на

;

d

d; +

; Если

−

c

∞

, то функция возрастает

c

и

5.

d; + .

−

∞

График функции — гипербола с асимптотами: горизонтальная y = ac , вертикальная x = −dc .

Функция y = |x|.

1.D(y) = R; E(y) = [0; +∞).

2.Функция четная.

3.Точка пересечения с осями (0; 0).

4.Функция убывает при x (−∞; 0], функция возрастает при x [0; +∞).

5.График функции — объединение двух лучей: биссектрис первой и второй координатных четвертей.

Графики функций y = sign x, y = [x], y = {x}, y = x			2n	, y = x	2n+1	, y =	√
							x.
y = sign x	y = [x]	y	= {x}

y = x2n+1

y = √x

y = x2n

26	Глава IV. Функции, их свойства и графики	[И.В. Гридасова
	Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, a = 0.

1.D(y) = R; E(y) = [yв; +∞), если a > 0 и E(y) = (−∞; yв], если a < 0, где yв = y(xв) = −4b2a + c.

2.Если b = 0, то функция ни четная, ни нечетная; если

b = 0 — функция y = ax2 + c четная.

3. Если a > 0, то функция убывает на промежутке (−∞; xв] и возрастает на промежутке [xв; +∞), xв — точка максимума, где xв = −2ba. Если a < 0, то функция возрастает на промежутке (−∞; xв] и убывает на промежутке [xв; +∞), xв — точка минимума.

4. График функции пересекает оси координат в точках
	√
(0; c), (x1; 0), (x2; 0), где x1,2 =		2	−4ac	.
	−b± b
	2a
5. График функции — парабола, ветви которой направ-

лены вверх при a > 0, и вниз при a < 0; координаты вершины (xв; yв); ось симметрии графика — x = xв.

Показательная функция y = ax, a > 0, a = 1.

1. D(y) = R; E(y) = (0; +∞).

2. Функция ни четная, ни нечетная.

3. График функции пересекает ось Oy в точке (0; 1), ось Ox не пе-

ресекает.

4. Если a > 1, то функция возрастает на R; если a (0; 1), то функция убывает на R.

Логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a = 1.

1. D(y) = (0; +∞); E(y) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная.

3. График функции пересекает ось Ox в точке (1; 0), ось Oy не пе-

ресекает.

4. Если a > 1, то функция возрастает на (0; +∞); если a (0; 1), то функция убывает на (0; +∞).

П.А. Машаров]	§ 9. Свойства некоторых функций и их графики	27
	Функция y = sin x.

1.D(y) = R; E(y) = [−1; 1].

2.Функция нечетная.

3.Функция периодическая (T = 2π).

4.График функции пересекает ось Oy в точке (0; 0), ось

Ox — в точках (πk; 0), k Z.

5.	y > 0 при 2πk < x < π + 2πk, k Z; y < 0 при π + 2πk < x < 2π + 2πk, k Z;
6.	Функция возрастает на каждом промежутке вида −π2 + 2πk x π2 + 2πk,
k Z; убывает на каждом промежутке вида π2 + 2πk x		3π	+ 2πk, k Z.
		2
7.	ymax = 1 в точках xmax = π2 + 2πk, k Z; ymin = −1 в точках xmin = −π2 + 2πk,

k Z.

Функция y = cos x.

1.D(y) = R; E(y) = [−1; 1].

2.Функция четная.

3.Функция периодическая (T = 2π).

4. График функции пересекает ось Oy в точке (0; 1), ось

5. y > 0 при			π2	+ 2πk < x < π2 + 2πk, k			Z; y < 0 при π2 + 2πk < x < 32π + 2πk,
Ox — в точках		π2 + πk; 0			, k Z.
	−

kZ;

6.Функция возрастает на каждом промежутке вида −π + 2πk x 2πk, k Z; убывает на каждом промежутке вида 2πk x π + 2πk, k Z.

7.ymax = 1 в точках xmax = 2πk, k Z; ymin = −1 в точках xmin = π + 2πk, k Z.

Функция y = tg x.

1. D(y) = R \ π2 + πk , k Z; E(y) = R.

2.Функция нечетная, периодическая (T = π).

3.График функции пересекает ось Oy в точке (0; 0), ось Ox — в точках (πk; 0), k Z.

4.y > 0 при πk < x < π2 + πk, k Z; y < 0 при −π2 + πk <

x< π + πk, k Z;

5.Функция возрастает на каждом промежутке вида −π2 + πk < x < π2 + πk, k Z.

Функция y = ctg x.

1.D(y) = R \ {πk}, k Z; E(y) = R.

2.Функция нечетная, периодическая (T = π).

28		Глава IV. Функции, их свойства и графики	[И.В. Гридасова
k	3.ZГрафик.	функции не пересекает ось Oy, ось Ox пересекает в точках π2 + πk; 0 ,

4. y > 0 при πk < x < π2 + πk, k Z; y < 0 при −π2 + πk <

x< π + πk, k Z;

5.Функция убывает на каждом промежутке вида πk <

x< π + πk, k Z.

Функция y = arcsin x.

1. D(y) = [−1; 1]; E(y) = −π2 ; π2 .

2.Функция нечетная.

3.График функции пересекает оси координат точке (0; 0).

4.Функция возрастает при x [−1; 1].

5.Функция приобретает наибольшее значение ymax = π2 в точке

xmax = 1 и наименьшее значение ymin = −π2 в точке xmin = −1.

Функция y = arccos x.

1.D(y) = [−1; 1]; E(y) = [0; π].

2.Функция не четная, ни нечетная, arccos(−x) = π − arccos x.

3.График функции пересекает ось Oy в точке π2 , ось Ox —0;

вточке (1; 0).

4.Функция убывает при x [−1; 1].

5.Функция приобретает наибольшее значение ymax = π в точке

xmax = −1 и наименьшее значение ymin = −π в точке xmin = 1.

Функция y = arctg x.

1.D(y) = R; E(y) = −π2 ; π2 .

2.Функция нечетная.

3.График функции пересекает оси координат точ-

ке (0; 0).

4.Функция возрастает при x R.

Функция y = arcctg x.

1.D(y) = R; E(y) = (0; π).

2.Функция не четная, ни нечетная, arcctg(−x) =

π− arcctg x.

3.График функции пересекает ось Oy в точке

0; 2	, ось	Ox не пересекает.
π

4. Функция убывает при x R.