AiNAU2010

П.А. Машаров] § 12. Уравнения, системы и совокупности 39

Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача: найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений и принадлежит области допустимых значений всех входящих в совокупность уравнений. Для обозначения совокупности используют квадратную скобку:

f1(x) = 0,

. . . , fn(x) = 0.

Основными методами решения уравнений являются метод разложения на множители и введения новой переменной.

Суть метода разложения на множители состоит в том, что если p(x) можно представить в виде произведения, то есть p(x) = p1(x) · p2(x) · . . . · pn(x), то уравнение p(x) = 0 на области определения функции p(x) равносильно совокупности:

p1(x) = 0,

. . . , pn(x) = 0.

Если в уравнении неоднократно встречается одно и то же выражение, зависящее от переменной, то целесообразно обозначить это выражение другой буквой и решить уравнение относительно введенной переменной, а потом относительно данной.

Заметим, что уравнение

f(x)						f(x) = 0,
		= 0	равносильно		g(x) = 0,			а	(12.1)
g(x)
					f	x) = 0,
f(x) · g(x) = 0						( x D(g);
					g(x) = 0,
						x D(f).

Для графического решения уравнения f(x) = g(x) необходимо изобразить в одной системе координат графики функций y = f(x) и y = g(x). Тогда решениями данного уравнения являются абсциссы точек пересечения изображенных графиков.

Также существуют нестандартные методы решения уравнений. Один из них заключается в анализе области определения уравнения. Если ОДЗ уравнения содержит лишь несколько чисел, то можно решить такое уравнение непосредственной подстановкой этих чисел.

P (x) Q(x)

40

Глава V. Уравнения

[И.В. Гридасова

Еще один из методов заключается в анализе множества значений входящих в уравнение функций с последующим переходом от исходного уравнения к системе более простых уравнений. То есть если, например, E(f) = [a; b], E(g) = [c; d], то уравнение

f(x) + g(x) = b + d	g(x) = d.
	f(x) = b,

Если E(f) = [a; b], E(g) = [b; c], то уравнение f(x) = g(x) эквивалентно системе f(x) = b, g(x) = b. Если же E(f) = [a; b], E(g) = [c; d] и b < c, то уравнение f(x) = g(x) решений не имеет.

Есть методы, основанные на использовании обратимости входящей в уравнение функции. Если, например, был подобран корень уравнения f(x) = a и доказано, что функция f(x) обратима (например, если она монотонна на D(f)), то кроме найденно-

го других корней нет. Если функция f(x) обратима, то уравнение f g(x)							= f h(x)
	g(x) = h(x)	. Если	f(x)	— монотонно возрастающая	функция, то уравнения

f f(x) = x и f(x) = x эквивалентны. Более того, в данном случае для любого

натурального k уравнения f f( f(x). . . . . .					= x и f(x) = x эквивалентны.

k

Метод решения уравнений, использующий монотонность функций, основан на следующем: пусть f(x) и g(x) — непрерывные на промежутке I функции, причем f ↑, g ↓ на I. Тогда каждое из уравнений f(x) = g(x), f(x) = C не может иметь на I более одного решения. Это решение иногда удается угадать.

§ 13. Рациональные уравнения

К рациональным относятся уравнения, которые можно свести к виду = 0, где P (x), Q(x) — многочлены. Для решения таких уравнений используют переход (12.1). После этого решение сводится к нахождению корней многочленов, о чем уже упоминалось в п. 5.2 на стр. 11.

Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида ax+b = 0, где a, b — действительные числа. Решением уравнения ax + b = 0 является −ab , если a = 0; , если a = 0, b = 0; R, если a = 0, b = 0.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c —

действительные числа, a = 0. Чтобы решить квадратное уравнение вычисляется дис-
криминант	D = b2			, тогда корни определяются по формуле				√		, если
		−	4ac		x	1,2	=	−b± D
								2a

D 0, корней нет, если D < 0. Если коэффициент b является четным числом, то для упрощения вычислений используют следующий метод нахождения корней. Итак,

П.А. Машаров] § 16. Логарифмические уравнения 41

для решения уравнения ax2 + 2kx + c = 0 дискриминант вычисляют по формуле
	2			√			0, и корней нет, если D1 < 0.
D1 = k		− ac, тогда корни x1,2	=	−k±	D1	, если D1
				a

Для проверки, являются ли данные два числа корнями данного квадратного уравнения, используют следующую теорему Виета. Числа x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c тогда и только тогда, когда выполняются равенства x1 + x2 = −ab , x1x2 = ac . Теорема Виета верна также и для многочленов старших степеней. Числа x1, x2, . . . , xn — корни многочлена xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 тогда и только тогда, когда выполняются равенства x1 + x2 + . . . + xn = −an−1, x1x2 + x1x3 + . . . + xn−1xn = an−2, . . . , x1x2 · . . . · xn = (−1)na0.

§ 14. Иррациональные уравнения

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Уравнение

вида 2n+1 f(x) = g(x), n N равносильно уравнению f(x) = g2n+1(x).

Уравнение вида 2n f(x) = g(x), n N равносильно системе

f(x) = g2n(x), g(x) 0.

§ 15. Показательные уравнения

Показательными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени при постоянных положительных основаниях. Рассмотрим эквивалентные преобразования простейших показательных уравнений.

af(x) = ag(x)				f(x) = g(x),					a > 0, a = 1;
				x — любое из ОДЗ,					a = 1.		(15.1)
af(x) = b, a >		0	, a		0		(	) = loga		b.
				= 1, b >			f x

Остальные показательные уравнения решают путем сведения данного уравнения к уравнениям, не содержащим показательную функцию, или к простейшим показательным при помощью замены.

§ 16. Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащую переменную под знаком логарифма. Простейшее логарифмическое уравнение loga f(x) =

42 Глава V. Уравнения [И.В. Гридасова

g(x), a > 0, a = 1 эквивалентно f(x) = ag(x). Рассмотрим первые эквивалентные

переходы некоторых логарифмических уравнений.

g(x) >

0,

logg(x) f(x) = b

f(x) >

0,

(16.1)

1,

g(x) =

f(x) = g(x) b.

log

a

( ) = log

a

( )

( )

или

f(x) = g(x).

(16.2)

a > 0, a = 1

f(x) = g(x)

f x

g x

f x >

0,

g(x) > 0,

Методы решения логарифмических уравнений аналогичны методам решения показательных уравнений.

§ 17. Уравнения с модулем

Одним из способов решения уравнения с модулем является раскрытие модулей по определению, то есть по формуле (4.12). Также наряду с описанными выше стандартными и нестандартными методами решения уравнений для решения уравнений с модулем применяют метод возведения в квадрат, графический, формальный. От-

метим, что уравнение			g(x) 0.
| |				(17.1)
f(x)	= g(x)		f(x) = ±g(x),

§ 18. Тригонометрические уравнения

Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых неизвестное входит лишь под знак тригонометрической функции. Рассмотрим решения про-

стейших тригонометрических уравнений и их частные случаи.

cos t = a

t = ± arccos a + 2πn, n Z,

если |a| 1,

(18.1)

,

если a

> 1.

k

arcsin a + πk, k Z,

|

|

sin t = a

t = (−1)

если |a| 1,

(18.2)

,

если

a > 1.

cos t = 0 t = 2

+

sin = 0

=

|

|

π

πn, n

Z,

t

t

πn, n

Z,

cos t = 1 t = 2πn,

n Z,

sin t = 1 t =

π

+ 2πn,

n Z,

(18.3)

2

cos t = −1 t = π + 2πn, n Z,

sin t = −1 t = −

π

+ 2πn, n Z.

2

П.А. Машаров]	§ 19. Упражнения к теме:		”Уравнения”			43
tg t = a t = arctg a + πn, n Z,		tg t = 0	t = πn, n Z,			(18.4)
ctg t = a t = arcctg a + πn, n Z,			t =	π
		ctg t = 0			+ πn, n	Z.
				2

Некоторые тригонометрические уравнения путем тождественных преобразований можно привести к уравнению (или совокупности уравнений) с одной тригонометрической функцией, а потом сделать замену и привести уравнение к алгебраическому. После решения такого алгебраического уравнения и обратной замены получается более простое тригонометрическое уравнения, если вообще не простейшее. Некоторые уравнения сводятся к простейшим методом разложения на множители.

Тригонометрическое уравнение вида a0 sink x+ a1 sink−1 x cos x+ . . .+ ak cosk x = 0, все члены которого имеют одну и ту же степень k относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко привести к уравнению относительно tg x, если все его члены разделить на cosk x. При этом, если a0 = 0, то такое деление не приводит к потере корней. Если a0 = 0, то cos x следует выносить за скобки.

При решении тригонометрических уравнений применяется следующее преобразо-

√

√

вание: a cos x + b sin x =

a

2

2

sin(x + ϕ) =

2

2

cos(x − ψ), где углы ϕ и

+ b

a

+ b

√

ψ определяются с точностью до 2πk (k

Z) и таковы, что

2

2

,

cos ϕ = b/

a

+ b

√

√

√

a

2

2

2

2

,

2

2

. Такое преобразование

sin ϕ = a/

+ b

, cos ψ = a/ a

+ b

sin ψ = b/

a

+ b

называется методом введения вспомогательного угла.

§ 19. Упражнения к теме: ”Уравнения”

1. Решите уравнения.

a)

6

+

3

=

2

+ 1;

b)

2

+

4

= 1;

x

2

−

1

x + 12

x − 1

x

2

+ 3

x

2

+ 7

c)

x

2

x − 3

+ x

+ 4x + 9 =

−

2;

d) (x2 + x + 1)2

−

3x2

−

3x

−

1 = 0;

+ 4x + 9

x

−

3

3

−

2

4

− 25x

2

e)

x

3

3x

− x + 3 = 0;

f)

x

= 0;

g)

x

−28

= 6x + 1;

h) 2x8 + 5x4 − 7 = 0;

x

i)

−5

−

4

= 3;

j)

3

= 218 ;

x3

7

x3

6

2

−

3

2

3

−

−

−2−x

3

√ 2

· (1/3)

6

x

1

3

k)

9

=

;

l)

= 5 ;

3

3

4

2x 3

x(2x 3)

√

3)−

1

27−

2/3

3

√

−

x

(

·

·

(

3)

−

−

m)

2

6 + 2x

;

2

3

(x + 3) =

3

n) 3(−0,5+2x

−(x+2)(2x−4)) = 5x−20;

o)

5

+

1

= 0;

p) 5 − 3(x − 2(x − 2(x − 2))) = 2;

x

x2

q) 4x4 − 15x3 + 4x2 − 15x + 4 = 0;

r) x4 − 10x3 + 22x2 + 10x + 1 = 0;

s) x4 + 3x3 − 27x2 + 13x + 42 = 0;

t) x4 + 2x3 − 21x2 − 22x + 40 = 0.

44

Глава V. Уравнения

[И.В. Гридасова

2. При каких значениях a уравнение имеет бесконечно много решений?

a) 6(ax − 1) − a = 2(a + x) − 7;

b) 0,5(5x − 1) = 4,5 − 2a(x − 2);

c)

3a

a

a

2a

−

=

−

.

x − a

x − 2a

x − a

x − 2a

3. При каких значениях a уравнение не имеет решений?

a)

x − 5 = a − x;

b) 2(a

−

2x) = ax + 3;

x + 7

x + 7

c)

2

= a(x + 2) − 2;

8 + 5x

= 2a.

a x

d) 2 − x

4. Решите уравнение.

a) x2 − 2x − 3 = |3x − 3|;

b) 2|x + 6| − |x| − |x − 6| = 18;

c) |2x − 3| = |x2 − 2x − 6|;

d) |2x−3|−|x|+3|x−1|−2|x−2| = x−2;

e) |

x+1

| = 1;

f) |x2 − 4x| = 5;

x−1

g)

|x

2

− 1| + x = 5;

h)

5

=

|x| + 2;

3−|x−1|

i) | − x + 2| = 2x + 1;

j) |x − 6| = |x2 − 5x + 9|;

k) |x2 − x − 8| = −x;

l) |3x2 − 3x + 5| = |2x2 + 6x − 3|;

m) (x2 − 5x + 6)2 + 3|x − 3| = 0;

n) 6x − 9 = x2(|x − 3| + 1).

5. При каких значениях a уравнение имеет одно решение?

a) ax2 − 6x + 9 = 0;

b) 4x2 − ax + a − 3 = 0;

c) x2 + ax + 41 = 0;

d) (a + 2)x2 + 2(a + 2)x + 2 = 0;

e)

ax

2

− (a

+ 1)x + 2a − 1 = 0;

√

2

+ x − 6) = 0.

( x − a)(x

6. Решите уравнение при всех значениях параметра a.

a) x2 + 5ax + 4a2 = 0;

b) ax2 − (a + 1)x + 1 = 0;

c) (a + 1)x2 − 2x + 1 − a = 0;

d) x2 + a = 0;

e) a2x2 − 4 = 0;

f) x2 − 2x + 1 = a.

7. Решите уравнение графическим способом.

a) 2x2 − 5x + 2 = 0;

b) x2 + x − 12 = 0;

c) x2 + |x| − 6 = 0;

d) 2x2 + |x| − 1 = 0.

8. Решите уравнение.

a)

x

2

√

√

b) x

2

√

√

√

− ( 2 + 1)x + 2 = 0;

+ ( 2 + 6)x + 2 3 = 0;

c) x3 − 6x2 + 10x − 4 = 0;

d) x3 + 8x2 + 18x + 9 = 0.

9. Решите графически систему уравнений.

x2

+ 6x + 5

a)

2

2

b)

x

+ y = 4,

y = (x

− 1)2,

x

+ y

= 8;

y =

;

x + 1

П.А. Машаров]

§ 19. Упражнения к теме: ”Уравнения”

45

c)

e)

g)

i)

10.

a)

c)

e)

g)

i)

k)

11. a) d) g)

j) m) o) q) s) t)

x2

x + 2

d)

4x2

x4

y =

−

4x − 12

,

x

= y

+ 6,

y =

8

;

y =

−

;

x

2

4

x + 1

y = x2

+ 6x + 5 ,

y = x

−3,

f) | y| = x2−

y

−

x|

= 5;

|

8x + 15;

h)

y2

−

y x 2 = 4;

= x 2;

y

= x2 −

4x

+ 7,

xy

= 3,

· |

−

|

j)

y

−

−

y =

x + 2 ;

+2 = x + 3.

x

+ 5y = 4,

x2

y2

+ 7 = 4y

4x,

|

−

|

|

|

Решите систему уравнений.

b)

x + y = 5;

(1/x2) + (1/y2) = 5/4;

(1/x) + (1/y) = 3/2,

x2

− xy

+ y2 = 7,

y = 6/x;

d)

x + y xy = 1;

x

+ y

= 7,

x + y

+ xy

= 11,

x2 + xy = 15,

f)

−

6

x − y x + y

y

2

x

+ y

+

x

− y

=

13

,

+ xy = 10;

xy = 5;

x2 + y2 = 25,

x2 + y = 6,

(x

−

3)(y

−

5) = 0;

h) y2 + x = 6;

j)

3x + y + 2z = 7,

x(y + 1) = 0,

x + 5xy + y = 4;

x + 2y

+ 3z

= 3,

3x + ay = 3,

x + 3y + z = 3;

2 x + ay = 1,

ax + 3y = 3;

l) ax + y = 2a.

Решите уравнение, переходя к равносильным уравнениям.

√

= 2;

b)

√

= −2;

c)

√

= x;

x − 2

x + 3

x + 2

√

= 2 − x;

e) x −

√

= 1;

f)

x2 − 9 ·

√

= 0;

x

x + 1

2 − x

;

−

+ 5;

h)

√

3 + 1;

i)

+

√

x

+ 3

=

√

√

2

x 1 = x

x

x

5x

+ 1 + 1 = 2x

x − 1

2

2

2

2

−

√

2

√

−√4

2

20+x−√

−

(x

(x+3)(x

−121) = 0

;

k)

3−x

+ 3

x−1

= 4

;

l)

−12x+32)(x

−13x+40) = 0

;

√

2

x 1

3 x

√

2

10x+21

x

x

= x + 1;

n) x

−

·

= 2;

(x + 1)

x − 5x + 5

3x + 13

3x + 13

x

2

√

√

√

√

(x

2 −

2x

2

= 0;

p)

− 4x + 3) 5x −

2x − 12 + 2x + 16 = 2 x + 1;

√3

√

√

√

x + 2 = 4;

2

+ 3

x + 6 +

2;

r)

x + 3 −

4 x

− 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1;

√

√

√

√

2

√

+ 6x

−

5x + 1 + x + 6 = x

x + x x + 1 − 2(x + 1) = 0.

46

Глава V. Уравнения

[И.В. Гридасова

12. Решите уравнение.

a) 7x+2 − 2 · 7x+1 + 5 · 7x = 280;

b) 7x · 2x−3 = 0,125 · 149−2x;

c) 64x − 7 · 8x − 8 = 0;

d) 3x − 2x+4 = 3x−1 − 55 · 2x−2;

e) log6(x2

− 2) + log6(x − 1) = 1;

f) log32 x − log3 x2 − 8 = 0;

g) 3log2 x

· 5log2 x = 2025;

h) 3log2(x−2)−log2(x+1) = (1/9)−(1−log3 9);

i) lg(x2 − x) = 1 − lg 5;

j) log6

√

+ (1/2) log6(x − 11) = 1;

x − 2

k) log2(4−x)+log2(1−2x) = 2 log2 3;

l) log4(2 log3(1+log2(1+3 log2 x))) = 1/2;

m) ln(x2 − 6x + 9) = ln 3 + ln(x + 3);

n) 2 log32 x − 7 log3 x + 3 = 0;

o) lg2 x4 − lg x14 − 2 = 0;

p) log32(9x2) = log3 81;

q) log√

3 − 2 = 0;

r) log2/3

(x + 1)/(2x

1)

= 1;

6−x

s) log3(x2 − 3x)2 − log3(1 − 2x)2 = log3 4.

−

13. Решите уравнение (задания для работы дома).

a) (log√

4) · log2(5(3 − 2x)) = 4;

b) log16 x + log8 x + log2 x = 19/12;

5

c) lg2(10x)+lg(10x) = 6−3 lg(1/x);

d) log2 x/(log2 x−1)−2(log2

−1)/ log2 x = 1;

√

√

e)

2x + 3 · logx 2 = 1;

f) 1/ log3(x−1) = 1/(2 log9

3x

2

+ 2x − 7);

log2

g) log12/2(4x) + log2(x2/8) = log(x−1/2)(x − 1/2)8.

14. Решите уравнения.

a) sin 2x = 1/2;

b) cos(x/3) = −1/2;

c) tg(x − π/4) = −1;

d) sin(π/3 − 2x) = −1/2;

e) 2 sin x − 3 cos x = 2;

f) sin 2x − cos x = 2 sin x − 1;

√

√

g)

3

cos x + sin x = 2 cos 3x;

h) sin 2x + cos 2x =

2

sin 3x;

i) tg3 x + tg2 x − 3 tg x − 3 = 0;

j) sin4 x − cos4 x = sin 2x;

k) tg2 x + 3 ctg2 x = 4;

l) sin 3x = sin 2x + sin x;

m)

√

sin 2x + sin 2x = cos 2x.

2

15. Решите уравнения (задания для работы дома).

a) sin x/(1 + cos x) = sin(x/2);

b) √

tg2(x + 40◦) = ctg(50◦ − x);

3

c) sin2 x + sin2 2x = sin2 3x;

d) 1 − sin 3x = (sin(x/2) − cos(x/2))2;

e) sin 3x + sin x = sin 2x;

f) 2 cos 2x + 2 tg2 x = 5;

g) tg x − tg 2x = 0;

h) 2cos x = cos x + 1/(cos x);

i) x2 + 2x cos(x − y) + 1 = 0;

j) sin2 5x + 1 = cos2 3x;

k)

cos 3x + cos(5x/3) = 2

;

l)

(2 + 1/ cos2 x)(4

−

2 cos x) = 1 + 5 cos 3x

;

√

√

m)

√

1 + cos x

= sin x;

n)

√

1 − 2 cos x

= sin x;

o)

√

4 − 3 cos x

= −2 cos x;

p)

2 sin 2x

= −2 sin x;

q)

√

.

2 sin x sin 2x =

5 cos x + 4 sin 2x

Глава VI. Неравенства

Неравенством называются два выражения с переменной (неизвестным), соединенные знаком неравенства: > (больше), < (меньше), (больше или равно, не меньше),(меньше или равно, не больше), = (не равно). Решением неравенства называется значение переменной, при котором неравенство превращается в правильное числовое неравенство. Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что их нет. Решением неравенства является подмножество действительных чисел. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства называется множество значений переменной, при которых выражения в обеих частях неравенства определены.

§ 20. Теоремы о равносильности неравенств

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или выражение с переменной, которое не теряет смысл при любом значении переменной из области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному. Отсюда следует, что из одной части неравенства можно переносить во вторую слагаемое с противоположным знаком: f(x) ± g(x) h(x) f(x) h(x) g(x).

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на выражение с переменной, которое приобретает лишь положительные значения и не теряет смысл на множестве допустимых значений данного неравенства, то получим неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или на выражение с переменной, которое приобретает лишь отрицательные значения и не теряет смысл на множестве допустимых значений данного неравенства, а также поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства возвести в нечетную натуральную степень и сохранить знак неравенства, то получим неравенство, равносильное данному.

Если первое неравенство равносильно второму, а второе — третьему, то первое неравенство равносильно третьему.

47

48	Глава VI. Неравенства		[И.В. Гридасова
	Наряду с неравенствами рассматривают также системы и совокупности неравенств.
Решением системы неравенств		f1.(.x.), 0,	(20.1)
		fn(x) 0
являются все значения переменной x, которые являются решениями каждого из нера-
венств f1(x) 0, . . . , и fn(x) 0. Решением совокупности неравенств
		f1.(.x.), 0,	(20.2)
		fn(x) 0

являются все значения переменной x из совместной области допустимых значений всех входящих в совокупность функций, которые являются решениями хотя бы одного из неравенств f1(x) 0, . . . , или fn(x) 0.

Основным методом решения неравенств является метод интервалов, основанный на том, что непрерывная на промежутке функция (а все элементарные функции непрерывны на своей области определения) может изменять знак только при переходе через те точки, которые или не входят в ее область определения, или в которых ее значение равно нулю. Алгоритм применения метода интервалов для решения, неравенства f(x) = 0 (под = понимается один из знаков <, >, , , =) следующий:

1.Находим D(f).

2.Находим нули функции f(x).

3.На координатной оси Ox отмечаем D(f) (выкалываем точки и промежутки, не принадлежащие D(f)), а на ней — нули f(x) (если неравенство строгое, то отмечаем выколотыми точками, если нестрогое — закрашенными), разбив таким образом область определения (которая может являться прямой, лучом, интервалом и т.п.) на интервалы.

4.Расставляем знаки функции f на каждом из интервалов, выбираем те, для ко-

торых выполняется соответствующий знак неравенства f(x) = 0, пишем ответ.

Для тригонометрических неравенств необходимо найти период T функции f и решать неравенство на произвольном промежутке длины T (удобно рассмотреть промежуток вида [x0; x0 + T ], где x0 — некоторый корень соответствующего уравнения),

апри записи ответа учесть периодичность неравенства.

При расстановке знаков можно использовать следующие соображения:

1. Функцию f(x) в неравенстве f(x) = 0 разложить на множители, при этом строго положительные функции-множители не писать, вместо строго отрицательных на-