AiNAU2010

П.А. Машаров] § 21. Некоторые типы неравенств и их эквивалентные преобразования 49

писать множитель (−1); монотонно возрастающую функцию и имеющую в качестве корня xj заменить на множитель (x−xj), убывающую — на −(x−xj). Если функциямножитель неотрицательна и имеет корень xj, то ее заменить на (x −xj)2, неположительную с корнем xj заменить на −(x − xj)2. После этого сделать преобразования.

2.Чтобы определить знак на самом правом промежутке (то есть на (xm; +∞)) можно подставить в функцию f “очень большое число”.

3.Двигаясь справа налево от интервала с известным знаком к интервалу с неизвестным знаком при переходе через очередную точку xj если левая часть неравенства

имеет вид (x − xj)pg(x) (или g(x)/(x − xj)p), где g(xj) = 0, то при p четном знак написать такой же, если p нечетно — изменить на противоположный.

§ 21. Некоторые типы неравенств и их эквивалентные преобразования

Очень часто от первого шага решения задачи зависит правильность и быстрота получения ответа. Рассмотрим некоторые типы неравенств и эквивалентные им конструкции. Здесь функции f и g предполагаются таковыми, что D(f) = D(g) = R. Если D(f) = R или D(g) = R, то в дополнение описанным ниже переходам необходимо учесть ОДЗ исходного неравенства.

2n f(x) > g(x), n N

2n f(x) < g(x), n N

2n f(x) < 2n g(x), n N

g(x) 0,

f(x) > g2n(x);

g(x) < 0,

f(x) 0.

g(x) > 0,

f(x) < g2n(x),

f(x) 0.

0 f(x) < g(x).

(21.1)

(21.2)

(21.3)

f(x) · g(x) 0

f(x) · g(x) > 0

f(x) > 0,

g(x) 0;

f(x) = 0.

f(x) > 0,

g(x) > 0;

(21.4)

(21.5)

50

Глава VI. Неравенства

[И.В. Гридасова

|f(x)| > g(x)

f(x) > g(x),

(21.6)

f(x) < −g(x).

|f(x)| < g(x)

f(x) < g(x),

(21.7)

f(x) > −g(x).

f x

< g x

f

x

g x

f

x

g(x) < 0.

|

(

)|

|

(

)|

(

) −

(

)

(

) + h(x) > 0,

(21.8)

h(x)

f(x)

<

h(x)

g(x)

h(x)

−

1 g(x)

−

f(x)

> 0.

(21.9)

= 1,

h(x) > 0, h x

( )

log

f(x) < log

g(x)

f(x) > 0,

(21.10)

h(x)

h(x)

h(x) − 1 g(x) − f(x) > 0.

§ 22. Упражнения к теме:

”Неравенства”

1. Пусть a, b, c, x — действительные числа. Верно ли, что:

a) a > b a2 > b2;

b) a > b a1 > 1b ;

c) a > b a · c > b · c;

d) a > b a3 > b3;

e) a > b ca > cb;

f) a > b sin a > sin b;

g) a > b a±c > b±c;

h) a > b ab > 1;

i) a2b 0 b 0;

j) a > b tg a > tg b;

k) a > b |a| > |b|

l) a > b logc a > logc b;

√

√

n)

1

o)

1

x > 1;

m) a > b

a > b;

ax > 1 x > a ;

x < 1

p)

1

> 1 |x| < 1;

q)

2

> 1 x2 < 2;

r)

2

< 1 |x| > 2;

|x|

x2

|x|

s)

3

> 1 |x| < 3;

t) a < 4 |a| < 4;

u) a > 3 |a| > 3;

|x|

v) a > b

|a| >

|b|;

w) a > b arctg a > arctg b;

x) a > b arcctg a > arcctg b;

y) a < c, c < b a < b;

z) a c, c b a > b;

a > M.

aa) |a| < ε (ε > 0) −ε < a < ε;

ab) |a| > M (M > 0)

a < −M,

2. Верно ли, что:

a) 5x2 > 2x 5x > 2;

b) 3x3 < 7x2 3x < 7;

c) 4x5 5x4 4x 5;

d) 2x3 3x2 2x 3;

e)

x2

x −1 x −2

x −1 x −3 f)

x2

+ 1 x − 1

+ 1 3x + 1

−

−

2x+5

−

−

5+2x

x

2

x

3

;

;

x

1 3x + 1;

;

i)

3−2x < 0

j)

0

3x−5

0

g)

2x + 5 3 2x < 0

; h)

3x 5 5 + 2x

;

1/x2 > 1

x2

< 1

1/x2 < 1

x2

> 1

П.А. Машаров]

§ 22. Упражнения к теме: ”Неравенства”

51

k) √

x 1 − x2 x2;

l) |x| a −a x a;

1 − x2

m) x1

x a,

1 x

1;

n) x2 a −

|a|

x

|a|

;

o) |x| a x −a;

p) x2 a x −

√a.

x

√a,

3. Решите неравенство.

a) 3x2

−

4x + 5 0;

b) (x

−

2)2 < 25;

c)

x3 −2

3x2 − x + 3

> 0;

x

+ 3x + 2

d)

x

2x2 − 6x

0;

e) x + 2 > 2;

f)

(x − 1)(x − 2)(x − 2)3x4 2

0;

+ 6x + 9

3 − x

(x

−

1)(x + 1)(x

−

3)

g) 1/(x − 3) −1/10;

2

5

h)

x

+ 10x −

+ 29 0.

|x + 5|

4. Решите неравенство (задания для работы дома).

a)

x2 + 6x

0;

b) x22 − 3

1;

c) x6 + 9x3 + 8 0;

− 3x − x

2

4

0;

x

3− 1

2

− 1)

0;

f)

2

< 2;

d) x4

−

10x2 + 9

e) (x − 64)(−x

6x

15x + 19

x3 + 1

3x2−

6x + 7

g)

(x + 3)2(x2 + x + 1)

1.

−

x2 + x + 1

5. Найдите область определения функции.

√

x

|−

x

1

1

a) y =

|

;

b) y = arcsin

+

√

;

tg 2x

x2−1

− log(x2−5x+7)

2

y =

√

c)

y = arccos

8−2x−x2

2+sin x ;

d)

;

√

cos x

arcsin 0,5x

e) y =

ln cos x;

f)

y =

;

√

x2−1

i) y =

j) y = arcsin(1

x) + lg lg x;

√

2

+ arccos x2x ;

g)

y

=

cos(sin x);

h)

y = log2 sin x cos x;

1

+1

−

lg(1

x

1)

√

−

−

√

√

k) y =

2

;

2

;

sin x +

16 − x

l) y = lg sin(x − 3) −

16 − x

m) y = log2 log3 log4 x + 0,6x2+3x − 1.

6. Найдите область определения функции (задания для работы дома).

√

;

c)

(

d)

2

;

4 + 4) (1

x /(|x| −

3);

a) y

= arccos (2x

+ 1)/(2

2x) ;

b) y

=

;

e)

=

+

−

;

f)

=

+

y

=

x2

−

x

/

−

x2)

y

=

x

5 (4

x )

|

−

|

− | |

ln(5 − x)

√7 − 2x

5 − x

2 2x−− 7

y

ln(3x + 2)

√4

x

y

ln

3x + 2

4

x

4 − x

x x2 x − 2x − 8 .

g) y = ln 3x + 2

+ log2

;

h) y = log90

5

−

x

7

−

2x

− −

| | −

3

x

7. Решите неравенства.

a) |x + 2| + |x − 2| < 6;

b) |x − 3| < 2;

c) |x + 2| > −2;

d) |x − 7| 0;

e) |x + 1| > 1;

f) |x − 3| < −1;

g) |x − 2|(x − 1) > 0;

h) |2x2 − 9x + 15| 2;

i) x2 − 5|x| + 6 0.

52

Глава VI. Неравенства

[И.В. Гридасова

8. Решите неравенства (задания для работы дома).

a) |3 + x| x;

b) 1/|x| 1/3;

c) |x3 − 1|(x − 9) < 0;

d) |x2 + 5x| < 6;

e) x2 − |5x + 6| > 0;

f) |x| + |x + 3| < 5;

g) |2x−1|+ |x−3| 4;

h) |2x−3|−|x+ 1| 0;

i) x |x + 2|/x.

9. Решите неравенства.

a)

9

x

− 12 ·

3

x

+ 27 0;

b) (0,6)

x2−7x+6

1;

x−3

c) (1/7)2x−1 − 8(1/7)x + 1 0;

d) 62x−1 − (1/3) · 6x − 4 0;

e) log3(3x − 2) > 0;

f) log1/3(x + 3) 0;

g) log5(3x + 1) > log5(x − 2);

h) lg(53−x + 2) − lg 63 > lg 3 − lg 7;

i) x log1/3 7 − 2 log1/3 7 > 0;

j) (x + 1) log0,7 3 − log0,7 27 > 0;

k) log6(x2 − x) < 1;

l) 5log5(2x−1) < 7;

m) log3 log1/2(2x + 1) > 0;

n) log1/2 log3

x − 2

>

−

1.

1 − x

10. Решите неравенства (задания для работы дома).

a) lg(x − 2) − log√

(x − 2) > −1;

b) log√

(2x − 1) − log1/25(2x − 1) < 5/2;

10

5

c) logx+1(5 − x) > 1;

d) log2x+1(3 − 2x) < 1;

e) logx−2

(2x − 7) < 1;

f) logx−1(4 − x) < 1;

g)

√

2

(1/3) x+2 > 3−x;

h) (0,1)4x −2x−2 (0,1)2x−3;

i) 31/(x+1) > 9;

j) (2/5)(6−5x)/(2+5x) < 25/4;

k) x2 · 5x − 52+x < 0;

l) 2x2+x+1 − 3x2+x > 3x2+x−1 − 2x2+x.

11. Решите неравенства.

√

√

√

a)

2

− 9 −1;

x + 8 > −1;

b)

x < 0;

√

√

x

c) (x − 1)

d)

x

+3

< 0;

e)

1

−

x

2

a;

f) a(x

−

1) 1;

√

x+2

√

√

√

x

2

+ x

2

2

+ x − 2 0;

g) |x+ 1|

− 2 0; h) |x−a| x

+ x − 2 0; i) (x − 1)

x

√

√

√

√

− 5 0;

j)

x + 5 > x;

k)

6 − x

2

>

−x;

l) x −

x

4

2

√

2

√

√

m)

(x

n)

(x

o)

2

−

1)

−x x;

− 4) x − 1 0;

−x

−2

3x + 4 > −2;

√3

p)

√2x−1

< 1;

q)

x

−

1 ·

√

x

0;

r)

9+5(√x)

>

10

;

x

x2

+3

x+4

√3

√5

√

√

s)

0;

t)

x11+3−x

0;

u)

1−√

x−2

> 0;

x

−

3

·

5

−

x

2

−

x

1

v) (x − 3)2 < a;

w) (3 − 4x)2 a − 1;

−

x) (5x + 3)2 > a;

y) (2 − x)2 3 − a;

z) (x − a)|x − 5| 0;

aa) (x − a)(2x + 3)2 > 0;

ab)

(x

−

a)2(x

−

7)

0

;

x

a (x

−

3) < 0

;

3x−1

0

;

ac) |

−

|

ad) √1

−

x

ae) x2 + 6x + a 0;

af) (x2 − 4)(4x2 − 1) 0;

2

ag) x4−−x252 0;

ah) x2 − 18x + 17 0;

ai)

21

<

16

− x6 ;

aj)

1

+ x2 >2

3

;

x+1

x−2

2

x−

2

x−

1

ak)

(5x+4)(3x−2)

(3x−2)(x+2)

;

al)

(x+5)(3x −3x+1)

>

(x+5)(x +2x−1)

.

x+3

1−x

x2−6x+9

x2−6x+9

П.А. Машаров]

§ 22. Упражнения к теме:

”Неравенства”

53

12. Решите неравенства.

a) sin x > 0;

√

b) sin 2x > 1/2;

c) cos 3x 0;

d) cos(x + 1)

/2;

e) sin 2x + 2 sin x > 0;

f) cos 3x(2 cos x − 1) 0;

2

√

0;

2

2

0;

g) (cos x − sin x)

2

h)

3x − x

2 sin

x − sin x cos x − cos x

2

√

√

0;

√

2x

j)

3) > 0.

i) 4 sin

−2( 3 + 1) sin 2x +

3

(1 + cos 2x)(tg x −

13. Решите неравенства (задания для работы дома).

a) 2 cos 2x −

π

+

√

0;

b) 2 sin 3x +

π

− 1 > 0;

3

5

3

c) tg x + ctg x

√

√

3);

d) 2/(tg x + 1) < 2

tg x;

3

+ (1/

√

− √

e) 15/(sin x + 1) < 11 − 2 sin x;

f)

2

3 tg

x − 4 tg x +

3 > 0;

g) sin(πx) + cos(πx) −1;

h) 5 sin x + 12 cos x 12.

14. Найдите решения уравнения, удовлетворяющие условию.

a) 1 + cos x + cos 2x = 0, sin x < 0;

b) 4 sin4 x + 12 cos2 x = 7, cos x > 0;

c) 5 tg4 x − sec4 x = 29, sin x > 0;

d) sin x + cos x = 0, cos x < 0;

e) sin 3x + sin x = sin 2x, sin x > 0.

15. Решите неравенства методом интервалов.

√

x(x

1)(2 + x)3 ln x

2

a)

x

16 − x

· sin x 0;

b)

−

(x

−

4)2

|

|

0;

c) (x − 1)

2

3

d)

(2 + x)

0;

x3 − 1 0;

e)

(7

x

x − 4 x

− (1/8))(3

x

+ 2)

0;

x + 2

0.

− 49)(2

f) (x − 2)(x + 3) arcsin x

√

x

−

(1/2)

x

16. Решите неравенства (задания для работы дома).

a)

x2− 10x 1;

b)

x

lg sin x

0;

3

cos x

4

5

−

c)

cos x

ln x

0;

d)

x (x − 1) (x + 3)

0;

(1

−

2·

(2

−

7

(x

−

3)

10

x ) ctg x

x)

(x

3

2

8)(x

2

e)

x + 2

| −

1 (x2

−

6x + 5) < 0;

f)

− 6x

+ 12x −

− x − 20)

0;

x2

|

2 + x

x2

√

25x2

>

√

100

x

1

x

x+1

−x >

,

1/x

1

x

−

4

1

x

−

;

h) 5

· 2

−

+ 5

7 ·

;

g)

·5

−

·5

−

· 2−

(0 4)−

i)

9

sin x

<

3;

j)

8

−

3x+2

0;

2

−

12

x√

x

x

ctg x

k) √5 · 2x − 4 > 3 ·

2

− 8;

l) 5

0,2;

x2

x + 2)( x

1

4)

(4x

2) ln(37

x2)

m) (

− 3

3

x

| −

|2−

0;

n)

(|x

−

2

−

0.

(9 −

) lg(26 − x )

− 2| − 3)(x

− x − 2)

17. Решите системы или совокупности неравенств (задания h)–r) для работы

дома).

x

x2

x

b)

1

2

1

a)

0,

4x2

2−

4x

− 3 0,

x2

4(x

3)

+ 2 (

5 + 6) 0;

3x

20x 7 < 0;

|

−

−

/x

−

,

−

|

−

54

Глава VI. Неравенства

−2

−

[И.В. Гридасова

c) 3 + 2x − x2 1,

d)

5x

3

9x2

4x

5 < 0,

2

−

28;

3 − 2x

√

11x

x2 >

−

1;

e

− 3 < x2

− 2x < 3;

f

x > 0;

)

x

−

2x

= 0,

)

tg x

3,

|x − 1| 2,

3 − 2

6 2 −3x,

g) x 4

x <

x,

5;

h)

3x −2 5−x 9,

| −

|

−

−

3(1

(x/2)) > 2x 1,

|x

−

3|

2x

3,

x

4

< 1;

i)

x

−

−

j) 3| x−

5|

−

−

1

|

+ x

−

2

|

< 3

−

x;

x

−

< 2;

|

|

1

x2

4,

x2

−

14x + 45 < 0,

k) x2

− x − 6 0,

l) x2

−

11x + 30 > 0,

2

x + 2x 3 0,

− 2x

3

2

−

2

−

> 0;

x2

3x + 2

0,

4x2 + 7x 15

0,

x

+ x − 6 0;

x − x + 2

m)

−2x

−

3

|

< 1;

n) 20x2

−

23x

−

21 < 0;

|

−

−x < 2,

2x 3 < 5;

o)

3x >

−12 + x,

p)

−

x >

1,

−

x 1;

0 < x < 1,

2x + 1 >

x

10;

3x < 1;

− −

0 < x < 3,

1 < 2x

1 < 5,

x 1,

−

q)

2 < 3x

−

1 < 11;

r)

x > 5;

2 < x 5,

10 4x 2 < 26,

3 < 2x

−

−

1 < 11;

x 0,

−

x > 1.

18. Решите неравенства графически (задания f)–k) для работы дома).

a) x3 > −x + 2;

b) x2 3 − 2x;

c) (1/3)x2 > −9/x;

2

+ 2x + 5;

e) x

3

√

f)

x

2

+ 1 <

−2/x;

d) 6/x < −x

< x;

g) (x + 1)2 < 4/x;

h) (x − 2)2 < 4 − 2x;

i) ln x < x − 1;

j)

2cos x < 1;

k) 7 cos x < x2−8x+23.

19. Изобразите на плоскости множество точек с координатами (x, y), удовлетворя-

ющими следующим условиям:
a) |x − 1|(y + 2) 0;	b) x2 + y2 − 2x + 4y + 1 0;
c) |x| + |y| + |x − y| 2;	d) xy 1;

П.А. Машаров]

§ 23. Дополнительные упражнения

55

e) (y − x)/(xy2) 0;

g) x − y 1, x + y 2, y 2; i) x2 + y2 9, x + y 0;

k) y x2, y 4 − x2;

m) | cos x cos y| = 1; o) sin2 x + sin2 y = 2; q) logy(9 − x2) 2;

f) x + y 1, −x − y 1;

h) x2 + y2 1, x2 + y2 16 j) y √1 − x2, y + |x| 4;

l) y log2 x, 4x − 3y − 12 0;

n) log2 x2 + log2 y2 = 2 log2 x + 2 log2 y;

p) 2x2 + 2y2 + 2xy − 1 = y + x; r) (3 cos x − 1)(3 sin y + 2) 10.

§23. Дополнительные упражнения

20.При каких значениях параметра a уравнение x4 + (a + 2)x2 + a2 + 3a = 0 имеет три различных корня?

21.При каких значениях параметра a уравнение x2 + (2a −1)x + a2 −3a = 0 имеет

два различных положительных корня?
22. Определите количество решений уравнения										= a в зависимости
	1					x + 3
от значения параметра a.	|	− |						||
23. При каких значениях параметра a уравнение |2|x| − 5|									= a − x имеет три
решения?			√
24. При каких значениях параметра a уравнение		(					a) x				(9/x) = 0 имеет
				x
единственное решение?					−				−

25.При каких значениях параметра a уравнение (√x − a)(22x − 10 · 2x + 16) = 0 имеет два различных корня?

26.При каких значениях параметра a уравнение 16x − (a + 1) · 4x + 4a − 12 = 0 имеет единственное решение?

27.Сколько решений имеет уравнение (log3(x − 2) − 2)×√x − a = 0 в зависимости от значения параметра a?

28.При каких значениях параметра a уравнение (x + a) log3(2x − 5) = 0 имеет единственное решение?

29.Определите количество корней уравнения (cos x − 0,5)(sin x − a) = 0 на промежутке (0; 2π] в зависимости от значения параметра a.

30.	Определите, при	каких значениях параметра a уравнения cos x − 0,5 = 0 и
(cos x	− 0,5) cos x + ((a	− 2)/2) = 0 равносильны.

31.При каких значениях параметра a уравнение sin2 2x − a sin 2x = 0 имеет на промежутке [π/2; π] два корня?

32.При каких значениях параметра a уравнение (x − a) arccos (x + 5) = 0 имеет единственное решение?

Учебное пособие

Алгебра и начала анализа (в рамках коррекционного курса) для студентов I курса математического факультета ДонНУ

Гридасова Ирина Васильевна, Машаров Павел Анатольевич

Донецкий национальный университет, 83001, м. Донецк, ул. Университетская, 24.