- •Глава 8.
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Краткая теория
- •8.2. Правило Лопиталя Краткая теория
- •8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции Краткая теория
- •8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба Краткая теория
- •8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков Краткая теория
- •8.6. Применение производной в задачах с экономическим содержанием Краткая теория
- •Глава 9. Дифференциал функции Краткая теория
- •3.Свойства дифференциала:
- •5. Дифференциалы высших порядков.
- •9.7.9.8.
- •Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •10.1.Неопределенный интеграл. Краткая теория
- •10.2. Интегрирование разложением.
- •10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.
- •10.4. Метод подстановки.
- •10.5. Метод интегрирования по частям.
- •10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен.
- •10.7. Интегрирование рациональных функций.
- •10.138.
- •10.8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •10.149.10.150.10.151.
- •Глава 11. Определенный интеграл Краткая теория
- •2. Свойства определенного интеграла:
- •11.1. Методы вычисления определенного интеграла
- •11.2. Геометрические приложения определенного интеграла. Краткая теория Площади плоских фигур
- •1.Если функциянеотрицательна на отрезке, то площадьпод кривойна( площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойи
- •Длина дуги кривой
- •Площадь поверхности вращения
- •Объемы тел вращения
- •11.38. 11.39..
- •Б. Несобственные интегралы от неограниченных функций Краткая теория
- •(11.25)
- •11.75. .
- •11.5. Использование понятия определенного интеграла в экономике
2. Свойства определенного интеграла:
1) где- некоторое число.(11.3)
2) .(11.4)
3) (11.5)
4) (11.6)
5 (11.7)
6) Теорема о среднем. Если функциянепрерывна на отрезке, то найдется такое значение,что
(11.8)
7) Если функция - четная, то
(11.9)
Если функция – нечетная, то
(11.10)
8) Формула Ньютона –Лейбница.Определенный интеграл от непрерывной на отрезкефункцииравен приращению любой ее первообразнойна этом отрезке:
,(11.11)
или
9) Замена переменной в определенном интеграле. Если функцияимеет непрерывную производную на отрезке,и функция непрерывна в каждом точке, где, то
(11.12)
10) Интегрирование по частям определенного интеграла.Если функциииимеют непрерывные производные на отрезке, то
.(11.13)
11.1. Методы вычисления определенного интеграла
11.1.Вычислить определенные интегралы:
а) ; б); в);
г) ; д); е).
Решение:
а) используя эквивалентное преобразование подынтегральной функции (почленное деление числителя на знаменатель) и свойства (11.3),(11.4) определенного интеграла, получаем
.
Все три интеграла – табличные; согласно (11.11),окончательно имеем:
.
б) Так как
то (см. (11.7))
в) Воспользуемся заменой переменной: пусть . Тогда. Найдем пределы интегрирования по переменнойt: если , то;если, то.Искомый интеграл теперь принимает вид:
.
г) Воспользуемся формулой (11.13)интегрирования по частям: пусть. Тогда,и (см.(10.13))
д) Как было отмечено выше (см. § 10.3), данный интеграл находиться с помощью последовательного применения формулы интегрирования по частям. Пусть. Тогда,и (см.(11.13)).
.
Для нахождения последнего интеграла вновь применяем формулу (11.13):,. Тогда,и
.
е) Воспользуемся тригонометрической подстановкой . Будем полагать, что. Если, то; если, то. Тогдаи
.
Так как при,. Применяя тригонометрическую формулу понижения степени, получаем:
Вычислить определенные интегралы:
11.2..11.3..11.4..11.5..
11.6..11.7..11.8..11.9..
11.10..11.11..11.12..11.13..
11.14..11.15..11.16..11.17..
11.18..11.19..11.20..11.21..
11.22..11.23..11.24..11.25..
11.26..11.27..11.28..11.29..
11.2. Геометрические приложения определенного интеграла. Краткая теория Площади плоских фигур
1.Если функциянеотрицательна на отрезке, то площадьпод кривойна( площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойи
прямыми ) (см.рис(11.1) численно равна определенному интегралу отна данном отрезке:
(11.14)
(геометрический смысл определенного интеграла).
Рис.11.1
2. Если функция- неположительная на отрезке , то площадьнад кривойна(см.рис.11.2.) равна определенному интегралу отна, взятому со знаком «минус»:
(11.15)
Рис. 11.2
3. Если на отрезке, то площадьфигуры, заключенной между кривымиина этом отрезке определяется формулой
.(11.16)
4. Если верхняя ограничивающая линия фигуры (см. рис.11.1) задана параметрически:,, где,,, то площадьэтой фигуры вычисляется по формуле:
.(11.17)