- •Глава 8.
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Краткая теория
- •8.2. Правило Лопиталя Краткая теория
- •8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции Краткая теория
- •8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба Краткая теория
- •8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков Краткая теория
- •8.6. Применение производной в задачах с экономическим содержанием Краткая теория
- •Глава 9. Дифференциал функции Краткая теория
- •3.Свойства дифференциала:
- •5. Дифференциалы высших порядков.
- •9.7.9.8.
- •Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •10.1.Неопределенный интеграл. Краткая теория
- •10.2. Интегрирование разложением.
- •10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.
- •10.4. Метод подстановки.
- •10.5. Метод интегрирования по частям.
- •10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен.
- •10.7. Интегрирование рациональных функций.
- •10.138.
- •10.8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •10.149.10.150.10.151.
- •Глава 11. Определенный интеграл Краткая теория
- •2. Свойства определенного интеграла:
- •11.1. Методы вычисления определенного интеграла
- •11.2. Геометрические приложения определенного интеграла. Краткая теория Площади плоских фигур
- •1.Если функциянеотрицательна на отрезке, то площадьпод кривойна( площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойи
- •Длина дуги кривой
- •Площадь поверхности вращения
- •Объемы тел вращения
- •11.38. 11.39..
- •Б. Несобственные интегралы от неограниченных функций Краткая теория
- •(11.25)
- •11.75. .
- •11.5. Использование понятия определенного интеграла в экономике
9.7.9.8.
9.9.
Найти дифференциалы первого порядка функций и вычислить их значения при заданных xи ∆x:
9.10. 9.11.
9.12.
Найти дифференциалы первого порядка функций:
9.13. 9.14.9.15.
9.16. 9.17.9.18.
9.19. 9.20.9.21.
9.22. 9.23.9.24.
9.25. 9.26. 9.27.
9.28. 9.29. 9.30.
9.31. 9.32.
Найти дифференциалы второго порядка функций:
9.33. 9.34. 9.35.
9.36. 9.37. 9.38.
9.39. 9.40.
Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить:
9.41.е0,2.9.42. ln 1,02. 9.43. 170,25.
9.44. arcsin 0,54. 9.45. 1.021/3. 9.46. cos 151o.
9.47. sin 29o. 9.48.arctg1,05.9.49.lg11.
9.50.Показать, что относительная погрешность в 1% при определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
9.51.Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.
Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.
10.1.Неопределенный интеграл. Краткая теория
Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная которой равна данной функции, т.е. .
Неопределенным интегралом от непрерывной функции или от дифференциального выражения называется общее выражение для всех первообразных функций .Обозначение: (1)
где.Функция называется подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла.
1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.(2)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: .(3)
3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
(4)
4.Неопределенный интеграл от алгебраический суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
Таблица простейших неопределенных интегралов
(5)(10)
(5а)(11)
(5б)(12)
(6)(13)
(7)(14)
(8)(15)
(9)
10.2. Интегрирование разложением.
Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла.
Если то
1. Найти интеграл
2.Найти интеграл.
Раскрывая скобки и пользуясь формулой (5) для случая, когда m– отрицательное число, находим
3. Найти интеграл
Для вычисления интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе на знаменатель. Если это выполнить, получим:
4. Найти интеграл
Прибавляя и вычитая единицу из , получаем:
5. Найти интеграл
Так как то
Используя метод разложения, найти интегралы:
10.2..10.3..10.4..
10.5..10.6..10.7..
10.8..10.9..10.10..
10.11.. 10.12..10.13..
10.14..10.15..10.16..