8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба Краткая теория

1. Функция называетсявыпуклой вверх (вниз)на промежутке, если для любых двух значенийx₁,x₂из этого промежутка выполняется неравенство

.

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

2. Если вторая производнаяf"(x) функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция являетсявыпуклой вниз (вверх)на этом промежутке.

3. Еслиx₀– точка перегиба функции иf"(x₀)существует, тоf"(x₀) = 0.

4. Если вторая производнаяf"(x)меняет знак при переходе через точкуx₀, то точкаx₀ является точкой перегиба функции .

5.Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1) найти вторую производную функции f"(x);

2) найти точки, в которых вторая производная f"(x₀) = 0или не существует;

3) исследовать знак второй производной функции слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;

4) найти значения функции в точках перегиба.

8.80. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функцииy= 5х⁴-3х⁵.

Решение.y′ = 20х³- 15х⁴,y" = 60х²- 60х³= 60х²(1-x) . Вторая производная обращается в нуль в тех же точках х₁ = 0, х₂= 1, что и в предыдущем примере. Однако, на этот раз знаки второй производной следующие (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Таким образом, функция выпукла вниз на всем интервале (- ∞; 1), и точка х = 0 не является точкой перегиба. Не­трудно увидеть, что это точка экстремума (максимума) функции. Точках = 1 является точкой перегиба. На интервале (1; + ∞) функ­ция является выпуклой вниз.

Рис. 8.6

8.81. Найти точки перегибау = sinх + 2соsх.

Решение. Имеему' = соsх-2sinx,y" = -sinx– 2cosx. Вторая производная обра­щается в нуль при выполнении равенстваsinx= - 2cosx, илиtgx= - 2,т.е. в точках

x= -arctg2 + πn. Рис 8.6 показывает, что при –arctg2 + 2πn<x<π–arctg2 + 2πnƒ"(х)<0 и функция является выпуклой вниз, а при π –arctg2 + 2πn<x< 2π -arctg2 + 2πnƒ"(х) >0 и функция является выпуклой вверх. Точки х = -arctg2 + πn– точки перегиба.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:

8.82. y=x³ (x²- 5).8.83. y=.8.84. y=

8.85.y= .8.86. y = (x + 1)arctg x. 8.87. y = x³ e_.

8.88. y = .8.89. y = x²e.8.90.y=x³lnx+ 1.

8.91. y= .8.92.y= .8.93. y= .

8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков Краткая теория

1. Прямаяl называетсяасимптотой графика функцииу = ƒ(х), если расстояние от точки(х, ƒ(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклон­ными.

2. Прямаях = x_о являетсявертикальной асимптотой графика

функции у= ƒ(х), если хотя бы один из пределовƒ(х) (правосторонний или левосторонний) равен.

Прямая х = x_о может быть вертикальной асимптотой функцииy= ƒ(х) в том случае, еслиx_о – точка разрыва или граничная точка области определения.

3. Прямаяу = b являетсягоризонтальной асимптотой, еслиlimƒ(х) =b.

Если limƒ(х) =b, тоу = b — правосторонняя горизонтальная асимптота,

если limƒ(х) =b, то у =b—левосторонняя горизонтальная асимптота.

4.Если=k0 и=b, то прямаяy = kx + bявляетсянаклонной асимптотой графика функцииy = ƒ(х).

5. Общая схема исследования функций и построения графиков:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность – нечетность;

3) найти вертикальные асимптоты;

4) исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7) найти точки пересечения графика функции с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением графиков.

8.94.Исследовать функциюи построить ее график.

Решение:

1.Область определения. Точкии– точки разрыва функции.

2.ƒ(-х) = -ƒ(х), т.е. функция нечетная; её график симметричен относительно начала координат и достаточно провести исследования функции на интервале.

3.;.

Прямые х= 1 и (в силу симметрии графика) – вертикальные асимптоты.

4.. Прямая у = 0 (ось абсцисс) – двухсторонняя горизонтальная асимптота.

5.при всех допустимых значенияхх. Экстремумов нет, функция возрастает на интервалах.

6. ,y" = 0 прих= 0. Знаки второй производной показаны на рис. 8.7.

Рис. 8.7

Функция выпукла вниз на интервалах ии выпукла вверх на интервалах. Хотя ƒ"(х) меняет свой знак при переходе через три точки,,, но график функции имеет только одну точку перегибах =1, ибо в двух других точках,функция не определена.

7. Точка пересечения графика с осями единственная – начало координат (0;0).

График функции показан на рис. 8.8.

Рис. 8.8

8.95.Исследовать функциюy= (x- 1)e^x и построить ее график.

Решение:

1. Область определения .

2. Функция общего вида, так как ƒ (- х) = (-х- 1)ƒ (х).

3. Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

4. (х- 1) e^x = ∞;(х- 1) e^x =[ ∞∙0] ==== 0. Следовательно, прямая у = 0 (ось абсцисс) является левосторонней горизонтальной асимптотой.

5. у'=e^x + (х- 1) e^x = х e^x. Производная обращается в нуль в точкех = 0. Знаки производной показаны на рис. 8.9.

Рис. 8.9

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞; 0), возрастает на интервале (0; +∞); х= 0 – точка минимума и ƒ_min (0) = -1.

6. у" = e^x + xe^x = e^x (x + 1);y" = 0 прих = -1. Производнаяy"<0, еслих +1 < 0, т.е. на интервале. На интервалеу" > 0. Таким образом, функция выпукла вверх на интервалеи выпукла вниз на интервале;х = -1 – точка перегиба.

7. Точка пересечения с осью ординат (0; -1), с осью абсцисс – (1;0). График функции изображен на рис. 8.10.

Рис. 8.10

Найти асимптоты графика функции:

8.100. у =.8.101. у =.8.102.у =.

8.103. у =.8.104.у =.8.105. у =.

8.106.у =.8.107.у =.

Исследовать функции и построить их графики:

8.108.у =.8.109.у =.8.110. у =.

8.111. у =.8.112.у =.8.113. у =.

8.114. у =.8.115. у =.8.116. у = e.

8.117.у =.8.118.у =.8.119.у = sin.

8.120.у =.8.121. у =.8.122.у =.

8.123.у =.8.124. у =.