Инверсность форм
U1=A*U2+B*I2
А-форма: хх2,кз2
I1=C* U2+D*I2
I1= Y11 *U1+Y12*U2
Y-форма: кз1,кз2
I2=Y21*U1+Y22*U2
U1=Z11 * I1+Z12* I2
Z-форма: хх1,хх2
U2=Z21* I1+Z22*I2
U1=H11 *I1+H12*U2
H-форма: хх1,кз2
I2=H21*I1+H22*U2
I1=G11*U1+G12*I2
G-форма: кз1,хх2
U2=G21*U1+G22*I2
U2=B11*U1+B12*I1
B-форма: хх1,кз1
I2=B21*U1+B22*I1
Уравнениям этих форм соответствуют структуры четырехполюсников, рис.2
6
На структурной схеме имеются точки ответвления – 1,где функции передается другим блокам без изменения. В других точках – 2 происходит суммирование или вычитание различных функций – сумматоры.
Антипараллельные связи через звенья W4(p), W5(p), W6(p) называются обратными связями, которые могут быть отрицательными - 2, как W4(p) и W5(p) на схеме, и положительными - 3 – иногда называемые компаундирующими - W6(p).
Передаточную функцию всей системы можно определить путем последовательного и параллельного преобразования отдельных блоков и в целом для системы W0(p)= X31(p)/ X0(p)…28
В линейных электрических цепях, содержащих источники энергии, при наличии обратных связей может возникнуть вопрос об устойчивости процесса в цепи. Если под воздействием внешнего возмущения X0(t) система выйдет из состояния равновесия, наступит переходный процесс X31(t) = X31 уст + X31 св(t) (рис.8а), по окончании которого X31 св(t) → 0 –этот процесс является устойчивым. Процесс в системе неустойчив, если отклонение возрастает X31t → ∞ .
Из (28) отклонение и возмущение связаны зависимостью
X31(p) = X0(p) × W0(p) =A Q(p)G(p) = k=1nQkp-pr……(28)
27
4.Структурные схемы
В технических устройствах источник сигналов или энергии иногда соединяют через цепь, состоящую из ряда четырехполюсников, соединенных каскадно. Такие отдельные участки системы, содержащие в себе комплексы элементов, соединенные в сложные цепи, называются динамическими звеньями (блоками) системы.
Каждый блок (звено) характеризуется определенной передаточной функцией. Во многих случаях звенья системы характеризуются свойством однонаправленной передачи сигнала или энергии от входных зажимов к выходным. Система, составленная из звеньев направленного действия, называется структурной схемой. Звенья соединяются между собой линиями со стрелками, указывающими направление передачи сигнала, рис 12.
Рисунок 12
26
а) б)
в)
Рисунок 2
Четырехполюсник А-формы принято считать основным, положительное направление токов и напряжений у него показаны на рис. 2а, для В-формы - на рис. 2в. Эти формы попарно инверсны (указаны стрелками).
Инверсны формы Y и Z,а также формы H и G, направление токов и напряжений для которых указаны на рисунке 2б.
Ту или иную форму записи уравнений четырехполюсника применяют исходя из соображений удобства:
- в теории синтеза цепей Y или Z-форму записи;
-при анализе транзисторов H, Y и Z-форму;
-при последовательном соединении четырехполюсника – Z-форму;
-при параллельном соединении – Y-форму;
-при смешанном соединении (последовательно-параллельном) H-форму;
-при каскадном соединении – А-форму.
7
Поэтому на практике возникает необходимость перехода от одной формы записи уравнений к другой, что выполняется согласно таблице 1.
|
К мат рице |
от матрицы |
| |||||||
|
Z |
Y |
H |
G |
A | |||||
|
Z |
|
Y22△Y -Y12△Y
-Y21△Y Y11△Y |
△HH22 H12H22
-H21H22 1H22 |
1G11 -G12G11
G21G11 △GG11 |
AC 1C
1C ДС | ||||
|
Y |
Z22△Z -Z12△Z
-Z21△Z Z11△Z |
|
1H11 -H12H11
H21H11 △HH11 |
△GG22 G12G22
-G21G22 1G22 |
ДВ -1В
1-В АВ | ||||
|
H |
△ZZ22 Z12 Z22
-Z21Z22 1Z22 |
1Y11 -Y12Y11
Y21Y11 △YY11 |
|
G22△G -G12△G
-G21△G G11△G |
ВД 1Д
-1Д СД | ||||
|
G |
1Z11 -Z12Z11
Z21Z11 △ZZ11 |
△YY22 Y12Y22
-Y21Y22 1Y22 |
H22△H -H12△H
-H21△H H11△H |
|
СА -1А
1А ВА | ||||
|
A |
Z11Z21 △ZZ21
1Z21 Z22Z21 |
-Y22Y21 -1Y21
-△YY21 -Y11Y21 |
-△HH21 H11H21
-H22H21 -1H21 |
1G21 G22G21
G11G21 △GG21 |
| ||||
|
△Y=Y11Y12Y21Y22 |
△Z=Z11Z12Z21Z22 |
△H=H11H12H21H22 |
△G=G11G12G21G22 |
| |||||
Таблица 1. 8
Представлена на рис. 10б, а переходная функция реального дифференцирующего звена на рис. 10в.
Звено с запаздыванием – звено, в котором входная величина передается на выход без искажения, только с отставанием во времени, т.е. T – время чистого запаздывания
Xвыхt=Xвхt-T, рис.11а.
Передаточная функция: Wp=Xвых(p)Xвх (p)=e-Tp …………27
И амплитудно-фазовая частотная характеристика, рис.11б.
Xвх Xвых
t а) t
T
jQ (ω)
б) P (ω)
Рисунок 11
25
K
1
t
T Рисунок 10
Для R-C или R-L цепи, как и далее, Uвх≈Uс
i=CdUcdt≈CdUвхdt,т.к. Uвых=RI, то Uвых=RСdUвхdt=TdUвхdt
Переходя к преобразованию Лапласа имеем передаточную характеристику идеального дифференциального звена:
Wp=Tp=Uвых(p)Uвх(p)…….(25)
Чаще используется реальные дифференцирующие звенья, передаточная функция которых:
Wp=KTpTp+1……………(25)
Частотная характеристика: Wjw=KTiωTjω+1…………..(26)
24
Выведем уравнения А-формы, используя метод контурных токов для I1 и I2 для пассивного четырехполюсника
Рисунок 3
İ1=Ė1Y11- Ė2Y12
…………..……(1)
İ2=Ė1Y21- Ė2Y22
Где Y11 Y22 Y12 и Y21 – входная, выходная, и взаимные проводимости, Z2- нагрузка.
Для линейных взаимных четырехполюсников согласно принципа взаимности Максвелла (Y12=Y21) найдем из (1)
Ė1=Ė2Y22Y21+İ21Y21 , т.е
…………….(2)
İ1= Ė2Y11Y22- Y12Y21Y21+İ2Y11Y21
Заменив Ė1 на Ů1, а Ė2 на Ů2, а также A=Y22Y21; B=1Y21;
C=Y11Y22- Y12Y21Y21; Д=Y11Y21, из (2) получим
Ů1=AŮ2+Bİ2
……………….(3)
İ1=CŮ2+ Дİ2
9
Так четыре коэффициента A,B,C,D связаны соотношением AD-BC=1, то независимых коэффициентов только три. Поэтому любой четырехполюсник можно эквивалентировать тремя комплексными сопротивлениями в виде T или П - образных схем, рис.4
а) б)
Рисунок 4
Для эквивалентной Т-схемы, рис.4а.
İ1=İ2+Ů2+İ2Z2Z3=Ů21Z3+İ2(1+Z2Z3)
…..(4)
Ů1=Ů2+İ2Z2+İ1Z1=Ů21+Z1Z3+İ2(Z1+Z2+Z1Z2Z3)
Сопоставляя (3) и (4) для Т-схемы А-формы имеем:
A=1+Z1Z3; B=Z1+Z2+Z1Z2Z3; C=1Z3; D=1+Z2Z3 ………(5)
Следовательно Z3=1c;Z1=A-1C; Z2=D-1С………..(6)
Аналогично, для П-схемы А-формы можно получить, рис.4б
A=1+Z4Z6; B=Z4; C=Z4+Z5+Z6Z5Z6;D=1+Z4Z5…………(7)
Z4=BZ5=BD-1;Z6=BA-1………….(8)
10
видна на рисунке 9в, пунктирная линия амплитудно-частотной характеристики. Переходя к преобразованию Лапласа – Карсона
Xвыхp=KXвхpp………..(23)
Передаточная функция запишется
Wp=XвыхpXвхp=KP
а амплитудно-фазовая, рис.9в
Wjw=Kjω=Aωeω=Kωe-j90°……..(24)
Дифференцирующее звено – звено, в котором выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины или выходная величина пропорциональна производной от входной величины рис.10а.
а)
б)
jQ(ω)
φ(ω)
P(ω)
K
23
б) в) jQ(ω)
Xвых
P(ω)
Xвх
1 tgφ=KXвх
φ
t
Рисунок 9
Для цепи R-C цепи Uвх=Ri+Uc. В интервале времени, для которого Ri >>Uc, можно считать Uвх≅ Ri, т.е. i=UвхR
Uвых= Uc=1Cidt+A≈1RCUвхdt+A≈1τUвхdt+A
На рис. 9б изображена переходная функция. Интегрирование будет тем точнее, чем больше постоянная времени цепи τ по сравнению с периодом входного напряжения T. Погрешность интегрирования
22
Если четырехполюсник симметричный, то в Т-схеме Z1=Z2, в П-схеме Z5=Z6, что соответствует в А-форме A = D.
Если симметричный четырехполюсник нагружен на Z2, то можно получить :
Ů1=AŮ2+Bİ2=Ů2A+BC=Ů2eg
………(9)
İ1=İ2A+BC=İ2eg
Где g=a+jb=lnA+BC - Коэффициент передачи;
а – коэффициент затухания =ln(U1U2)2 , измеряемый в неперах или белах : (1Н=0,86Б=8.68 дБ),20lgU1U2 дБ.
11