3.Передаточные функции четырехполюсников

Четырехполюсник является некоторой эквивалентной электрической моделью технического устройства, а математическое описание ее – математическая модель, которую мы рассчитываем, анализируем, синтезируем и выбираем оптимальные параметры для обеспечения заданных технических режимов технологических процессов. На практике можно реальные устройства разбить на элементарные четырехполюсники, соединенные каскадно в цепные схемы, а отдельные четырехполюсники будут являться ее звеньями. При этом отдельные звенья могут быть различной физической природы : математическая модель электротехнической схемы, электромеханического устройства, гидравлического или пневматического объекта и т.д.

Весьма важным является возможность создания таких звеньев (элементарных четырехполюсников в сложной цепи), которые бы на выходе их формировали заданный закон изменения выходной функции.

Различные звенья, независимо от конструктивного исполнения, в переходных процессах математически описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, каждое из которых имеет порядок не выше второго. Различают следующие типовые динамические звенья: УСИЛИТЕЛЬНОЕ, АПЕРЕОДИЧЕСКОЕ, КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ, ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ, ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ, ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЕ.

15

Операторный метод тоже основан на использовании понятия изображения функции времени x(t),которой соответствует функция

X(P) новой переменной, обозначаемой буквой Р. Переход от функции времени к функции Р осуществляется с помощью преобразования Лапласа

L=Xp=0∞xt*e-pt*dt

При исследовании электротехнических цепей, а также в теории автоматического управления используют преобразования Карсона-Хевисайда

Xp=p0∞x(t)*e-pt*dt

В котором функция и ее изображение X(p) имеют одинаковую размерность, однако основная заслуга в разработке операторного метода конечно принадлежит Пьеру Симону Лапласу. Метод позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические. Передаточная функция четырехполюсника (динамического звена) – отношение преобразованных по Лапласу выходной величины Xвых(p) к входной величине Xвх(p) при ступенчатом воздействии на входе звена

Wp=Xвых(p)Xвх(p)

В действительности входная функция Xвх(t) может быть произвольной, поэтому переходя к преобразованиям Фурье, заменяем p=jω и получаем частотную характеристику звена

16

Wjω=Xвых(jω)Xвх(jω)=A(ω)ejφ(ω)……….(18)

Которая равна отношению частотных спектров выходной и входной величины. При этом A(ω)-амплитудно-частотная, а φ(ω)-фазово-частотная характеристика звена (четырехполюсника).

Aωejφω=Pω-jQ(ω)

Усилительное звено – звено, в котором выходная величина воспроизводит входную величину без искажения и запаздывания

Xвых=KXвх………(19)

Где К – коэффициент усиления (передаточный коэффициент) звена; иногда это звено называют жесткой связью.

Усилительное звено не содержит накопителей энергии, поэтому переходный процесс в нем отсутствует. Это резисторные четырехполюсники, электронные усилители, рычаг…

Апериодическое звено – звено имеющее один накопитель энергии (C-емкость, L-индуктивность, m-масса, J-момент инерции) и при подаче скачкообразного воздействия на входе выходная величина апериодически (по экспоненциальному закону) стремится к новому установившемуся значению. Иногда звено называют инерционным, статическим, одноемкостным.

17