AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
w			Click
		w
			w.
			A

r	ansf
T
			or
			m
				e
			buy	r
					0
					2
		to			.
here
B%Y
				m
			o
			.c
B Y

58

Задачи для самостоятельной работы

Неопределенные и определенные интегралы

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Задание 1. Найти неопределенные интегралы.

2 + ln

(

x -1

2

x +1

sin x

1.

а)

ò

)

dx;

б)

ò(1+ 3x

)sin x dx;

в)

ò

dx;

г) ò

dx

x

-1

x

3

-1

5

+ 3sin x

x + arctg 2x

2x3 -1

2.

а)

ò

dx;

б) ò x ln

2

x dx;

в)

ò

dx; г) ò

2 - x

dx

1+

4x

2

x

2

+ x

- 6

x - 6

1-

x + 3

dx

3.

а)

ò

2 + ln x

dx;

б)

ò x

2

cos

2

x dx;

в) ò

dx;

г) ò

x

x

3

+ x

2

- 2x

(4x +1)

2

+ 4x +1

3

2 x

x

3

2

4.

а) ò

e

dx;

б) ò x2e-

dx;

в)

ò

4x

+ x

+ 2

dx;

г)

ò

cos x

dx

2

4

x (x -1)(x - 2)

2

+ cos x

x

+ 2

e

5. а)

(arcsin x)3 -1

б)

2

в) ò

x2

г) ò

cos x

ò

dx;

ò x ln

x dx;

dx;

dx

x

4

-16

5

+ 4 cos x

1

- x

2

6.

а)

ò

x2 -1

б) òarctg

в)

ò

dx

г) ò

dx

dx;

x dx;

;

(x

3

-3x + 4)

2

x

3

4 sin x

+ 3cos x + 5

-1

x cos x + sin x

x

7. а)

ò

dx;

б)

ò(5 -3x) e

-3x

dx;

в) ò

dx;

г) ò

4 - x

dx

(x sin x)

3

x

3

+1

x -12

8.

а) òtgx ln cos x dx;

б) ò(8 -5x) cos 3x dx; в) ò

x

dx;

г) òctg 4 x dx

x

3

-1

9. а) ò

dx

; б)

ò x

2

5

-x

dx;

в) ò

dx

;

г)

òtg

4

x dx

(arcsin x)

2

x

3

+ x

2

1- x

2

+ x +1

10. а) ò

dx

; б) ò

ln2 x

dx;

в) ò

dx

;

г)

ò

dx

sin

2

x (3ctgx +1)

x

4

(1

3

x

-81

+

4 x )

x

Задание 2. Вычислить определенные интегралы.

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

59

		1							e			x
	1.	а) ò																dx;
				1			+ e						2 x
		0
		p
		4
	2.	а) ò tgx ln cos x dx;
		0
		1			3arctgx - x
	3.	а) ò																									dx;
										1+ x									2
		0
			2
	4.	а) ò								2 - x2 dx;
		1
		4											dx
	5.	а) ò																							;
				1
		0					+								2x +1
		5							x dx
	6.	а) ò																			;
		1							4x + 5
		e			cos (ln x)
	7.	а) ò																					dx;
		1											x
		1							x		2
	8.	а) ò															dx;
				1			+ x							6
		0
		e												dx
	9.	а) ò																									dx;
						x (1+ ln														2			x)
		1
				6												dx
	10. а) ò																												;
							1+
				1													3x - 2

	0
б)	ò (x2 + 6x + 9)sin 2x dx
	-3
б)	8	ln	2	x
	ò					dx
		3
			x	2
	1

1

2

б) ò x ln (1- x2 ) dx

0

1

б) òln (x +1) dx

0

2p

б) ò (3 - 7x2 ) cos2x dx

0

	0
б) ò (x2 + 2)ex 2 dx
	-2
	1
б) ò x arctgx dx
	0
p
б)	4
	ò x2 cos 2x dx
	0
б)	1
	ò x2 e3 x dx
	0
	0
б)	ò (x + 2)2 cos 3x dx
	-2

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Задание 3.

Вычислить

несобственные

интегралы(или

установить

их

расходимость).

1.

+¥

dx

2.

+¥

- x2

ò

ò

x e

dx

x ln

3

x

e

0

3.

e2

dx

4.

1

x

4

ò

ò

dx

x

ln x

1- x

5

1

0

5.

2

dx

6.

+¥

dx

ò

ò

x ln x

x

ln x

1

e

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

60

Click

w

m

w

w.

.

o

A BBYY

c

+¥

dx

2

x

3

7.

ò

8. ò

dx

2

+ 6x +11

4 - x

2

-¥ x

0

9.

-3

x

4

dx

ò

dx

10. ò

(x

2

+1)

2

3)

2

-¥

0 3 (x -

Задание 4 .

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 4 - x2							и y = x2 - 2x .
2.	Найти			площадь		фигуры, ограниченной	одной	аркой	циклоиды
x = 2 (t - sin t=), y				2 (1- cos t )		и осью Ox .
3.	Найти длину дуги параболы y = x2 от x = 0 до x = 1 .
4.Найти длину астроиды						x = cos3 t, y = sin3 t .
5.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги
кривой y =		1	x3	от x = -1 до x = 1 .
		3
6.	Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды
x = t -sin= t, y			1- cos t		вокруг оси Ox .
7.	Найти	объём			тела,	образованного вращением	вокруг	оси Ox	фигуры,
ограниченной линиями 2 y = x2 и 2x + 2 y -3 = 0 .

8.Вычислить длину кардиоиды r = a (1- cosj ).

9.Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1+ sin j ).

10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y =	27		и y =	x2	.
	x2 +	9
			6

Дифференциальные уравнения

Задание 1. Найти общие решения уравнений.

1.

y¢ =

x + y

2. xy¢ =

+ y

x2 + y2

x - y

3.

1

4.

y

ln x

y¢+ y cos x =

sin 2x

y¢- =

-

2

x

x

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

Click

w

m

w

w.

.

o

A BBYY

c

61

5. xy¢ + y = 2 y2 ln x

6. xy¢ + y = xy2

7.

y

¢

=

y2

+ 4

y

+ 2

8.

y

¢

+ 2xy = 2x

3

y

3

x2

x

9.

y¢ =

x + 2 y

10.

y¢+ y tgx = cos2 x

2x - y

Задание 2. Найти общие решения уравнений.

1.

y x ln x = y

¢¢

2. x

y

¢¢

+ x

y

¢

=1

¢¢¢

4

3

3.

tgx × y

¢¢

- y

¢

+

1

4.

¢¢

= 2

( y

¢ 2

sin x

y tgy

)

5.

¢¢

3

=1

6.

¢¢

¢

+1

y y

y tgx = y

7. x y

¢¢¢

¢¢

8.

(

+ x

2

)

y

¢¢

+ 2xy

¢

= x

3

+ y

= x

1

9. 2 yy¢¢- (y¢ )2

= 0

10. (2 y + y¢) y¢¢ = (y¢ )2

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Задание 3. Найти решения задач Коши.

1. y¢¢ - 2 y¢

2e=x ; y (1)

=-1, y¢(1) = 0

2. y¢¢ - 2 y¢ + 2 y

4ex cos=x; y (p )

pe=p , y¢(p )

ep=

3. y¢¢ + 4 y

sin=2x; y (0) =0, y¢(0) =0

4. y¢¢ + 4 y¢ + 4 y

-2 x

=0, y¢(0)

=0

3e = ; y (0)

5. y¢¢ + 9 y

cos=3x; y (0)= 1, y¢(0)= 0

6. y¢¢ + 2 y¢ + y

cos x=; y (0)

0,=y¢(0)

0=

7. y

¢¢

- y

¢

xe

;=y (0)

0,=y

(0) 0

8. y

¢¢¢

- 2 y

¢¢

+ =y

= =4;=y (0) 1, y

(0)

2, y

¢¢

(0)

-2

x

¢

¢

¢

9. y¢¢ - 6 y¢

+ 9 y e

3 x

=; y (0)

1,=y¢(0) 0=

10. y¢¢ - 4 y¢

2

=2, y¢(0)

=3

6x=+1; y (0)

Задание 4. Методом вариации произвольных постоянных решить уравнения.

1.

y

¢¢

+ 3y

¢

=

9e3x

2.

y

¢¢

+ 4 y = 8 ctg 2x

1+ e3x

4e-2 x

3.

y

¢¢

- 6 y

¢

+

8 y =

4

4.

y

¢¢

+ 6 y

¢

+8 y =

1+ e-2 x

2 + e2x ;

5.

y¢¢+ y =

1

6. y¢¢ + y =

1

sin x

cos x

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

Click

w

m

w

w.

.

o

A BBYY

c

62

	7.	y¢¢ + 3y¢+ 2 y =		1		8. y¢¢+ 4 y¢ + 4 y = e-2 x ln x
			1+ ex
	9.	y¢¢+ 4 y =	1			10. y¢¢- 2 y¢ + y =		ex
			sin2 x
								4 - x2

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Задание 5. Найти общие решения систем уравнений.

1.	ìx¢ = x - y	2.	ìx¢ = -4x + y
	í		í
	îy¢ = x + y		îy¢ = -2x - y
3.	ìx¢ = 3x + y	4.	ìx¢ = -x + 5 y
	í		í
	îy¢ = 8x + y		î y¢ = x + 3y
5.	ìx¢ = 3x + y	6.	ìx¢ = x -3y
	í		í
	îy¢ = x + 3y		îy¢ = 3x + y
7.	ìx¢ = x + 4 y	8.	ì x¢ = -7x + y
	í		í
	î y¢ = x + y		îy¢ = -2x -5 y
9.	ì x¢ = -y	10.	ìx¢ = -3x - y
	í		í
	îy¢ = 2x + 2 y		î y¢ = x - y

Ряды

Задание 1. Исследовать на сходимость данный числовой ряд.

1.	å2			n+1	(2n	3	+1)
	¥
	n=1			(n +1)!
	¥						1
3.	å
			(2n +1) ln					2	(2n +1)
	n=1

¥e-2 n

5.å nn=1

¥arctg n

7.ån=1 n3 +1

¥n2n

9.ån=1 n2 + 3

¥

1 æ

n

ö-n2

2.

å

ç

÷

n

n=1

3

è n +1

ø

¥

4n +1

4. å

3

n=1

n

+ 2

¥

e

n

+ 3

6.

å

n3 +1

n=1

¥

2p

8. åsin

n

2

+ 3

n=1

¥

æ

2

ö3n

10. ån

çen -

1÷

n=1

è

ø

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

63

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Задание 2. Исследовать на сходимость данный числовой ряд.

¥n+1 2n +1

1.å(-1 ) n(n +1)n=1

¥n 2n -1

3.å(-1 ) 3nn=1

¥(-1)n

5.ån=1 (n +1)ln (n +1)

n

¥ (-1 )

7. ån=1 5n+1 n!

	¥	n æ 2n +1			ön
	9. å(-1 )ç				÷
			n + 2
	n=1	è			ø

¥

n

n3

2. å(-1 )

(n

+1)!

n=1

¥

p

4. å(-1

n)sin

n

n=1

2

n e-

¥

n

6. å(-1 )

n

n=1

¥

2n

-1

8. å(-1 n)

n

n

n=1

3

	¥		p
	10. å(-1	n)sin
			2n
	n=1

Задание 3. Найти область сходимости данного степенного ряда.

¥

3

n

¥

(

x -1 n

1. å

xn

2. å

n)

n(n +1)

n 9

n=1

n=1

¥

(x

- 5)

2 n

¥

n + 2

3. å

4. å

xn

3n + 8

n(n +1)

n=1

n=1

¥

æ

1

ö

n

n

¥

4n

(

x +1

2n

)

5. åç1

+

÷

x

6. å

n

n

n=1

è

ø

n=1

7. å(n +1)

5

x2n

8. å (x + 2)

2n

n

¥

¥

n=1

n=1 2n +1

(2n + 3)5

¥

3n n!

n

¥

n2 (x - 3)n

9. å

x

10. å

n

(n4 +

1)

2

n=1 (n +1)

n=1

Задание 4. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

64

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

æ

x ö

1 sin

(

x2

)

1 ln

ç1 +

÷

5

1. ò

dx

2. ò

è

ø

dx

x

x

0

0

1

(

)

1

(

)

3.

ò

cos

x2

4.

ò

sin

x2

dx

dx

0

0

1

sin x

0,2

1

- e-x

5. ò

dx

6. ò

dx

0

x

0

x

0,2

1

dx

7. ò e-3 x2 dx

8. ò

4

16 + x

2

0

0

æ

x

ö

-

x

0,4 ln ç1 +

2

÷

0,4

1 - e 2

9.

ò

è

ø

dx

10.

ò

dx

x

0

0

x

Задание 5. Разложить данную функцию f(x)

в ряд Фурье на промежутке [a, b].

1. f (x) =

x

+1, [-p,p ]

2. f (x) = x +1, [-p ,p ]

3.

f (x )=

p - x

,

[0, 2p

]

4. f (x) =

x

,

[-1,1]

2

[-p,p ]

5. f (x) = x2 -1, [-2, 2]

6. f (x) = x,

ì x + p

, -p £ x £ 0 , [-p,p ]

7. f (x )= íï

8.

p

ï

1, 0 < x £ p

î

f (x) = p 2 - x2 ,

[-p ,p ]

9.

f (x )= íì

x, 0 £ x <1

,

[0, 2]

10. f (x) =

x

,

[-p,p ]

î2 - x,1 £ x £

2

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
			Click

r	an
T
here		to

sf
or
	m
	e
buy	r
	0
	2
	.

w				m
w	w.		o
		.
		A BBYY	c

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
			Click

r
T an
here	to

sf
or
	m
	e
buy	r
	0
	2
	.

w				m
w	w.		o
		.
		A B BYY	c