AB

B

		F
		D
	Y	P
Y
		Click

r	an
T
here		to

sf
or
	m
	e
buy	r
	0
	2
	.

20

AB

B

		F
		D
	Y	P
Y
		Click

r
T an
here	to

sf
or
	m
	e
buy	r
	0
	2
	.

w

m

w

m

w

w. .

o

Заметим, что несобственный интеграл от функции f (x) на отрезке [a, b] в

w

w. .

o

A BBYY

c

A B BYY

c

случае

f (c) = ¥ , где

c Î(a, b) ,

сходится, если

сходятся оба

несобственных

интеграла правой части равенства (15), т.е. существуют оба преде

?

Задание

1.

Вычислить

несобственный

интеграл

или

установить

ег

расходимость:

+¥

dx

.

ò1

x2

Решение.

Данный

интеграл

является

несобственным

по

бесконечному

промежутку [1, +¥) . По определению имеем:

+¥	dx		b	dx		lim æ -		1	ö =
			= lim=
									b
ò			b®+¥ ò				ç		÷|1
	x	2		x	2	b®+¥		x
1			1				è		ø

		æ		1	ö	=1.
	lim	ç1	-		÷
				b
	b®+¥	è			ø

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

Задание

2.

Вычислить

несобственный

интеграл

или

установить

его

2

dx

расходимость: ò

.

0

x - 2

Решение.

Данный

интеграл

является

несобственным интегралом

от функции

f (x )=

1

на отрезке [0, 2]

в случае f (2) = ¥ .

По определению имеем:

x - 2

2

dx

==lim

2-e

dx

lim( ln | x -=2 |) 2-e

lim (ln | e | -=ln 2)

-¥ .

0

x - 2

0 x - 2

ò

e ®0

ò

e ®0

|0

e ®0

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.

&4. Приложения определенных интегралов

Площадь плоской фигуры

O

Пусть

плоская фигура

ограничена

кривымиy = f1 (x) и y = f2 (x) , при

условии,

что

функции f1 (x),

f2 (x)

-

непрерывны

и f1 (x) £ f2 (x), и

вертикальными

прямыми x = a

и

x = b .

Тогда площадь данной фигуры

вычисляется по формуле:

b

2

(

)

1 (

)û

(16)

S =

òë

x

é f

- f

x ù dx .

a

AB

					F Tran			sf
				D
			P						or
	Y	Y								m
B											e
								buy			r
											2
											.
							to				0
						here					21
				Click
w											m
		w		w.
										o
									c
								.
					A BBYY

Если фигура ограничена кривой, которая задана уравнениями x = x (t ), y = y (t ) , t Î(a, b ) , прямыми x = a, x = b

площадь данной фигуры вычисляется по формуле:

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

параметрическими

c

A B BYY

и осьюOx , то

	b
	S = ò y (t )× x¢ t( dt) ,	(17)
	a

где x (a ) = a, y (b ) = b .

Если фигура ограничена кривой, которая задана уравнением в полярных координатах r = r (j ) , и двумя лучами j = a, j = b , то площадь данной фигуры вычисляется по формуле:

b

S = 1 òr2 (j )dj . (18)

2 a

Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением y = f (x), то длина её дуги от точки

A (a, f (a))

до точки B (b, f (b))

вычисляется по формуле:

b

l =

ò

1

+ é y¢(x )ù2

dx .

(19)

ë

û

a

Если

гладкая

кривая

задана

параметрическими

уравне

x = x=(t ), y

y (t ), a £ t £ b , то

b

l =

ò

éx¢(t )ù2

+ éy¢(t )ù2 dt .

(20)

ë

û

ë

û

a

Если	задана	гладкая	пространственная	кривая	параметрическим
уравнениями	x = x=(t ),=y	y (t ), z	z (t ), a £ t £ b , то	справедлива	формула
аналогичная (20):

b

éx¢(t )ù

2

+ éy¢(t )ù

2

+ éz¢(t )ù

2

dt .

(21)

l =

ò

ë

û

ë

û

ë

û

a

Если гладкая кривая задана	уравнением в полярных координата
r = r (j ), a £ j £ b , то

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

					22
	b
l =	ò	ér (j )ù2		+ ér¢(j )ù2		dj .
		ë	û	ë	û

a

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

(22)

Площадь поверхности вращения

Площадь

поверхности,

образованной

вращением

дуги

кривой

y = f (x), f (x) ³ 0 , a £ x £ b вокруг оси

Ox ,

вычисляется по формуле:

b

S

Ox

=

2p

ò

f

(

x

)

1

ë

¢

(

x

)û

2

dx .

(23)

+ é f

ù

a

уравнениямиx = x (t ), y = y (t ) ,

Если кривая

задается

параметрическими

a £ t £ b , то:

b

S

Ox

= 2p

ò

y

(

t

)

ë

(

)û

2

ë

(

t

)û

2

(24)

éx

¢

t

ù

+ éy

¢

ù dt .

a

Объём тела

Если площадь S (x) сечения тела плоскостью,

перпендикулярной оси Ox ,

является непрерывной функцией на отрезке a £ x £ b , то объём тела вычисляется

по формуле:

b

V = òS (x )dx

.

(25)

a

Объем

тела,

образованного вращением

вокруг осиOx

фигуры,

ограниченной

кривыми

y = y1 (x) ,

y = y2 (x) ( 0 £ y1 (x) £ y2 (x)) и

прямыми

x = a, x = b , вычисляется по формуле:

b

dx .

(26)

V

= p

é

y

2

x

- y

2

x

ù

òë

2

(

(

)û

O x

)

1

a

?

Задание 1. Вычислить площадь

фигуры,

ограниченной линиями y = 4 - x2 и

y = x + 2 . Сделать чертеж.

Решение Сделаем чертеж.

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

23

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

. Найдем точки пересечения кривых:

ì y = x + 2 íîy = 4 - x2 ,

откуда x1 = -2, x2 =1. Тогда по формуле вычисления площади плоской фигуры

(16) имеем:

1

ë(

2

)

1

(

2

)

æ

x2 x3 ö

1

æ

1

1 ö æ

8 ö 9

S =

ò

- x

û

ò

ç

÷|-2

ç

÷

ç

÷

é 4

- (x + 2)=ù dx

2

- x - x = dx

2x - - =

2 - -

3 ø

-

-4 - 2 + =

-2

-2

è

2 3 ø

è

2

è

3 ø

2

Задание 2. Вычислить длину дуги окружности x = r cost, y = r sin t .

Решение. Кривая задана в параметрическом виде, следовательно, вычислим

длину			дуги		по	формуле(20).		Имеем:	xt¢ = -r sin t, yt¢ = r cos t	и	тогда
							2p	r dt =r (t ) 2p
	(x¢ )2	+	y(¢ 2	)= r . Следовательно, l =			ò		=2pr .
	t		t					|0
							0

Задание 3. Вычислить площадь поверхности сферы, образованной вращением окружности x2 + y2 =1 вокруг оси Ox .

Решение. Разрешим уравнение окружности относительноy . Пусть для

определенности

y ³ 0 . Имеем:

x

1

.

y =

; y¢ = -

;

1+ ( y¢ )2

=

1- x2

1- x2

1- x2

Тогда S

1

dx

1

2=p (x )1

4=p .

Ox

= 2p

ò

1- x2

×

=2p

ò

dx

1- x

2

|-1

-1

-1

Задание 4. Вычислить объем шара, образованного вращением вокруг осиOx

фигуры, ограниченной окружностью x2 + y2 = r 2 .

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

Решение. Из уравнения

A BBYY

c

формулой (26), положив

24

окружности имеем: y2 = r 2 - x2 . Воспользуемся

y22 (x) = r 2 - x2 , y12 (x) = 0 . Тогда получим:

r

VOx = p ò (r2 - x2 ) dx

-r

æ

2

x3 ö

r

éæ

3

r3 ö æ

3

r3 öù 4

3

= p ç r

x -

÷|-r

= p êç r

-

÷

-ç

-r

+

÷ú

=

p r

3

3

3

è

ø

ëè

ø

è

øû

3

				F Tran			sf
				D
			Y	P			or
								e
	B	Y						m
B							buy	r
								2
								0
A						to		.
					here
				Click

w w теперь

w

.

A

B

	m
o
.c
BYY