- •Киров 2010
- •Махнев А.С.
- •Неопределенные и определенные интегралы
- •1. Неопределенный интеграл.
- •2. Определенный интеграл
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Приложения определенных интегралов
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Глава 3.
- •Ряды
- •1.Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •2. Степенные ряды
- •3. Ряды Тейлора
- •4. Ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельной работы
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|||
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
buy |
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
w |
w. . |
o |
Следовательно, условия признака |
|||||||
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходный ряд сходится условно.
52
Лейбница выполнены. Таким
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
||
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
||
|
w |
|
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w |
w. . |
o |
|||||||
образом, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
A B BYY |
c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O
2. Степенные ряды
Ряд, члены которого являются функциями переменной x, т.е. ряд вида u1(x) + u2(x) + … + un(x) + …
называется функциональным рядом.
Степенной ряд – это функциональный ряд вида
c |
+ c |
(x - x |
) + c |
|
(x - x |
)2 + ... + c (x |
- x )n + ... |
¥ |
(x - x )n , |
(18) |
|
2 |
= c |
||||||||||
0 |
1 |
0 |
|
0 |
n |
0 |
å n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
где c0, c1,…,cn,… - |
числа, называемые коэффициентами степенного |
ряда. |
|||||||||
Говорят, |
что |
степенной |
ряд (18) сходится |
в точке x*, если |
сходится числовой |
||||||
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
c0 + c1 (x* - x0 )+ c2 (x* - x0 )2 |
+ ... + cn (x* - x0 )n |
+ ...; |
|
|
|
при этом x* называют точкой сходимости ряда (18), а совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости данного ряда.
Теорема (об области сходимости степенного ряда). Если для степенного
ряда (18) с коэффициентами c ¹ 0,"n , существует |
lim | |
cn+1 |
|= |
1 |
|
, то: |
|
|
|||||
n |
n®¥ |
cn |
|
R |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)ряд (18) сходится во всех точках x, для которых |x-x0|<R;
2)ряд (18) расходится во всех точках x, для которых |x-x0|>R;
3)в точках х, для которых |x-x0|=R, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости ряда (18).
Число R = lim | cn | называют радиусом сходимости, а интервал
n®¥ cn+1
|x-x0|<R -интервалом сходимости степенного ряда (18).
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||||||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
||||
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
. |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
w |
w. . |
o |
Замечание. В области сходимости по |
|
|
|
w |
w. . |
o |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
отношению к степенным рядам |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
A BBYY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B BYY |
|
|
|
справедливы все правила действий с многочленами. В частности, их можно складывать, умножать на число, дифференцировать, интегрировать.
¥ xn
? Задание 1. Найти область сходимости степенного ряда å .
n=1 n
Решение. Сначала найдем радиус сходимости данного ряда:
R = lim | |
cn |
|= lim |
n |
= 1. |
|
|
|||
n®¥ cn+1 |
n®¥ n +1 |
|||
Следовательно, по теореме обобласти сходимости степенного ряда, для |
||||
всех х, удовлетворяющих условию -1<x<1, |
данный ряд сходится; для всех х, |
удовлетворяющих |
условию х<-1 или x>1, данный ряд расходится. Исследуем |
||||||
сходимость нашего ряда при х = -1 и x=1. |
|
|
|
||||
1) Рассмотрим |
точку х = -1 и подставим |
значениех = -1 в выражение |
|||||
данного ряда. Получим числовой ряд: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
å(-1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
Этот |
ряд |
является |
знакочередующимся |
,рядкомторый |
удовлетворяет |
условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится, а потому сходится и данный ряд при х = -1.
2) Рассмотрим точку х = 1 и подставим значениех = 1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд:
å¥ 1 .
n=1 n
Это - гармонический ряд. Следовательно, он расходится, а потому расходится и данный ряд при х = 1.
Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток x Î[-1, 1) .
O
3. Ряды Тейлора
Рядом Тейлора для данной функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулой:
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
54
cn = f (n) (x0 ) , n=0, 1, … n!
Таким образом, ряд Тейлора – это ряд вида:
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A B BYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
f |
(n) (x |
) |
|
n |
|
å |
|
0 |
|
(x - x0 ) |
|
(19) |
|
n! |
|
|
|||
n=0 |
|
|
|
|
|
В частном случае, если x0=0, ряд Тейлора (19) называют рядом Маклорена.
Теорема (критерий представимости функции рядом Тейлора). Для
Oтого, чтобы функцию f(x) можно было представить в окрестности точкиx0
рядом Тейлора:
|
|
|
¥ f |
(n) (x |
) |
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
f (x )= å |
|
|
0 |
|
(x - x0 ) |
|
, |
|
(20) |
|||
|
n! |
|
|
|||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn (x )= |
f (n+1) |
(x ) |
(x - x0 ) |
n+1 |
, |
|
x Î(x, x0 ) |
|
|
||||
|
(n + |
1)! |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стремился к нулю при n ® ¥ , т.е. lim Rn (x) = 0 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
Замечание. При решении многих задач рекомендуется пользоваться |
|||||||||||||||||||
следующими разложениями: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
¥ |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
ex = å |
|
, |
"x Î(-¥,¥); |
|
|
(21) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
¥ |
|
n |
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|||||||
2) |
cos x = å(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
, "x Î(-¥,¥); |
|
|
(22) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
¥ |
|
|
n |
|
|
|
x2n+1 |
|
|
|
|
||||||
3) |
sin x = å( |
-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, "x Î(-¥,¥); |
(23) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=0 |
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
ln (1 + x=) |
|
|
¥ |
|
|
|
|
n xn+1 |
"x Î(-1,1] ; |
|
|
(24) |
||||||
|
|
å(-1) |
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
¥ |
|
|
|
n |
x2n+1 |
|
|
|
|
|||||||
5) |
arctgx = å(-1 ) |
|
|
, |
"x Î(-1,1); |
|
|
(25) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
m (m -1) |
×××(m - n +1)x |
n |
|
||||||||
6) |
(1 + x=)m |
|
1 + å |
|
, "x Î(-1,1) |
(26) |
|||||||||||||
|
|
n! |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
|
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
?
55 |
|
|
|
1 |
sin x |
|
|
Задание 1. Вычислить интеграл ò |
dx с точностью до 0,001. |
||
|
|||
0 |
x |
Решение. Воспользуемся разложением (23). Имеем:
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A B BYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
¥ |
|
|
|
n |
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= å( |
-1 ) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
1 ¥ |
|
|
2n |
|
¥ |
|
|
-1 |
n |
1 |
|
¥ |
|
-1 |
n |
æ |
|
2 n+1 |
ö |
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
x |
|
|
|
|
|
å ( |
|
òx2ndx |
å ( |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
òsin x dx = òå(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
)= |
) |
|
ç= x |
|
÷|0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
x |
|
|
0 n=0 |
(2n +1)! |
|
|
n 0= |
(2n +1)! |
0 |
n 0= |
(2n +1)! |
è |
2n +1 |
ø |
|
|
||||||||||||||||
¥ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(-1 ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= å |
= |
|
1 - |
|
|
+ |
|
|
- |
|
|
|
+ .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=0 |
(2n +1)!(2n +1) |
|
|
3!×3 5!×5 7!×7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вычислим |
несколько |
|
|
последовательных |
первых |
|
|
членов |
полученно |
знакочередующегося ряда (с одним лишним знаком после запятой):
a1 =1,0000; a2 » 0,0555; a3 » 0,0016; a4 » 0,0000; ...
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося , рядаошибка вычислений, совершаемая при отбрасывании членов ряда, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Следовательно, для вычисления данного интеграла с точностью0,001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Таким образом, получаем:
|
|
|
|
1 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
dx » 0,946 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
4. Ряды Фурье |
|
|||||||
Функциональный ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
+ å(an cos nx + bn sin nx) |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется |
тригонометрическим рядом. |
Постоянные числа a0, |
an и bn |
||||||||
(n=1,2,...) называются коэффициентами тригонометрического ряда. |
|
||||||||||
Рядом |
Фурье для функцииf(x) на |
промежутке [-p ,p ] |
называется |
||||||||
тригонометрический ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
|
||
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
w |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
w. . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
a0 |
¥ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ å(ak cos kx + bk sin kx) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициенты которого определяются формулами:
|
|
|
1 |
|
p |
f (x )cos kxdx, |
|
|
ak |
= |
|
|
ò |
k = 0,1, 2,..., |
|||
p |
||||||||
|
|
|
|
|
-p |
|
|
|
|
|
1 |
|
p |
f (x )sin kxdx, |
|
||
bk |
= |
|
ò |
k =1, 2,3,.... |
||||
p |
||||||||
|
|
|
|
|
-p |
|
|
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
|
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
A B BYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(27)
(28)
В общем случае, рядом Фурье для функцииf(x) на промежутке [a,a+T]
называется тригонометрический ряд:
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
¥ æ |
|
|
|
2kp |
|
|
|
2kp |
|
ö |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
åçak |
cos |
|
|
|
x + bk |
sin |
|
x |
÷ |
, |
(29) |
|||||
|
|
|
2 |
T |
T |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|||||||||
коэффициенты которого определяются формулами: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
= |
|
2 |
|
a+T |
f (x )cos |
2kp |
xdx, |
|
k = 0,1, 2,..., |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
T |
|
|
òa |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
|||||
|
|
|
2 |
|
a+T |
f (x )sin |
2kp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
= |
|
|
òa |
xdx, |
k =1, 2,3,.... |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
k |
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция f(x) называется кусочно-монотонной на промежутке [a,a+T],
если она имеет на данном промежутке конечное число участков монотонности.
Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на промежутке [a,a+T], она имеет на данном промежутке конечное число точек разрыва и все 1они-го рода.
Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции
рядом Фурье). Если функция f(x) кусочно-монотонна и кусочно-непрерывна на
промежутке [a,a+T], то |
для "x Î[a, a +T ] ряд |
Фурье(29), |
составленный |
для |
функции f(x) на [a,a+T], |
сходится, причем: |
|
|
|
1) в точках непрерывности функцииf(x) |
сумма S(x) |
ряда Фурье |
равна |
|
значению функции в точке x : S(x) = f(x); |
|
|
|
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
||
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. . |
o |
2) в точках разрыва |
|||||||
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле:
57
функцииf(x) сумма
|
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|||
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
|||
|
w |
|
|
|
|
|
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w |
w. . |
o |
||||||||
S(x) ряда Фурье вычисляется по |
|
A B BYY |
c |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (x )= f (x -) + f (x +) , 2
где f(x-) и f(x+) – это соответственно левосторонний и правосторонний пределы функции f(x) в точке x;
3) на концах промежутка[a,a+T] сумма S(x) ряда Фурье вычисляется по формуле:
? |
S (a )= S (a + T ) = |
f |
(a -) + f ((a + T ) +) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
Задание 1. |
Разложить |
функцию f (x )= |
x |
в ряд Фурье |
на |
промежутке |
||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
[0, 2p ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В |
нашем случаеa = 0, |
T = 2p . |
Следовательно, |
по |
формулам |
|||||||||||
(30) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2p |
x |
|
|
æ |
x |
2 |
ö 2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a0 |
= |
ò |
dx = ç |
|
÷|0 |
= p , |
|
|
|||||||
|
p |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
è |
4p ø |
|
|
|
|
|
1 |
2p |
|
x |
|
||
ak = |
ò0 |
|
cos kxdx |
||||
p |
2 |
||||||
1 |
2p x |
||||||
bk = =p |
ò0 |
|
sin kxdx |
||||
2 |
1 éæ x |
ö |
2p |
|
1 |
2p |
ù |
||
= |
êç |
|
sin kx ÷|0 |
- |
|
ò sin kxdxú |
||
|
k |
|||||||
2p ëè k |
ø |
|
|
0 |
û |
1 éæ |
|
x |
ö |
2p |
1 2p |
ù |
|
|
êç |
- |
|
cos kx ÷|0 |
+ = =ò cos kxdxú |
||
|
k |
||||||
2p ëè |
|
ø |
|
k 0 |
û |
=1 |
|
(cos kx) 2p |
0,= |
|
|
|
|||
2p k 2 |
|
|0 |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
æ -2p cos 2kp ö |
- |
1 |
. |
||||
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
||
|
2p |
k |
|
k |
|||||
|
è |
ø |
|
|
Подставляя значения коэффициентовa0, ak, bk, k=1,2,3,… в (29), получим
разложение данной функции f (x )= |
x |
в ряд Фурье на промежутке [0, 2p ]: |
||||||
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|||||
|
x |
|
p |
|
¥ |
sin kx |
|
|
|
= |
- å |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||
2 2 |
|
k =1 |
k |
Это разложение справедливо "x : 0 < x < 2p . На концах промежутка, те в точках
x = 0 и x = 2p , сумма полученного ряда равна p .
2