Оглавление
1. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
|
2. Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
3. |
Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
4. |
Cходимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
5. |
Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
6. |
Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
1
1. Производящие функции
Производящей функцией случайной величины , принимающей целые неотрицательные значения, называется функция комплексного аргумента z
1 |
|
|
Xk |
jzj 6 1: |
|
(z) = E z ; E z = zkpk; |
(1) |
|
=0 |
|
|
Свойства производящей функции
1.(1) = 1:
2. |
(0) = p0; 0 6 p0 6 1: |
|
|
|||
|
|
|
(k)(0) |
|
|
|
3. |
pk = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k! |
|
|
|
4. |
Åñëè i независимы 8 i, òî P i(z) = Q i(z): |
|||||
|
|
|
|
|
i |
i |
5. |
E = |
0(1): |
|
|
|
|
6. |
(l)(1) = E [l], ãäå E [l] |
= E[ ( 1) : : : ( l + 1)] |
||||
|
l-й факториальный момент. |
|
||||
7. |
D = |
00(1) + 0(1) [ |
0(1)]2: |
|
Пусть f ng последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин, принимающих целые неотрицательные значения с производящей функцией , и независимая от них целочисленная случайная величина с
производящей функцией . Определим сумму случайного числа случайных величин равенствами
= 1 + 2 + : : : ; |
ïðè > 0; = 0 ïðè = 0: |
Тогда производящая функция |
равна суперпозиции производящих функций: |
= ( ):
Распределение вероятностей с функцией распределения F (x) называется безгранично делимым 1, если для любого целого положительного n существует функция распределения Fn(x), такая, что
F () = Fn(x) : : : Fn(x) :
Соответствующая производящая| |
|
|
|
|
|
|
безгранично делимой. Та- |
|
|
функция{z |
называется} |
||||||
|
|
n ðàç |
|
|
|
|
||
ким образом, распределение c производящей функцией |
безгранично делимо, если |
|||||||
для любого целого положительного n существует производящая функция |
n, такая, |
|||||||
÷òî = nn: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы неотрицательная целочисленная случайная величина |
; P( = |
0) > 0; имела безгранично делимое распределение, необходимо и достаточно, чтобы ее производящая функция допускала представление
(z) = e (h(z) 1);
1Знак в этом определении означает св¼ртку функций распределений.
2
1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ãäå h(z) производящая функция некоторой целочисленной неотрицательной случайной величины, а положительное число.
Пусть неотрицательная целочисленная случайная вели- чина с производящей функцией (t). Найти производящие функции слу- чайных величин + n и n (n целое неотрицательное число).
J Пользуясь определением производящей функции и свойствами математического ожидания, получаем:
def +n n n n
+n(z) = E z = E z z = z E z = z (z):
def n n n
n(z) = E z = E z = (z ): I
Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины по ее производящей функции
(z) = |
p |
; p; q > 0: |
(*) |
1 qz |
J Пользуясь свойством 5 производящей функции, найдем математи- ческое ожидание случайной величины , для чего вычислим производную
0 (z) = |
|
p |
z0 |
= |
|
pq |
: |
1 |
qz |
(1 |
qz)2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Учитывая тот факт, что 1 q = p, легко получить:
E = |
0 |
(1) = |
|
pq |
= |
q |
: |
|
|
|
|||||
|
|
(1 |
q)2 |
p |
|||
|
|
Замечание. Сравнивая полученное значение E со значениями мате-
матических ожиданий распределений из таблицы ?? Приложения, видим, что полученный результат совпадает с математическим ожиданием геометрического распределения. Однако из этого еще нельзя сделать вывод, что производящая функция (*) соответствует геометрическому распределению.
I
Пример 3. Найти распределение случайной величины по ее производя- |
||||
щей функции |
p |
|
|
|
(z) = |
; p; q > 0: |
(*) |
||
|
||||
1 qz |
3
1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
J Разложим производящую функцию в ряд Маклорена:
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Xk |
(z) = 1 |
|
qz |
= |
||
|
p(qz)k: |
||||
|
|
|
|
|
=0 |
Сравнивая полученное разложение с определением производящей функции
1
X
(z) = zkP( = k);
k=0
и используя единственность разложения в ряд Маклорена, видим, что
P( = k) = pk = pqk;
и это действительно геометрическое распределение.
Пример 4. Найти производящую функцию распределения Пуассона.
J Напомним, что распределение Пуассона задает вероятность исхода= k следующим образом:
P( = k) = pk = k e : k!
Воспользуемся определением производящей функции (1):
(z) = |
1 |
zkpk = |
1 |
zk k e |
= e |
1 |
(z )k : |
||
|
Xk |
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
k! |
|
k! |
|||||
|
=0 |
|
k=0 |
|
|
k=0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Из курса математического анализа известно разложение
|
|
|
|
n |
k |
|
|
e = |
Xk |
||||
|
|
|
|
: |
||
|
|
|
=0 |
k! |
||
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(z )k |
|
|
||
Xk |
|
|
= e ez = e (z 1): I |
|||
(z) = e |
|
k! |
|
|||
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Пусть и случайные величины, причем принимает значения 0, 1 с вероятностями 0,3; 0,7, а значения 0, 1, 2 с вероят-
ностями 0,25; 0,5; 0,25 соответственно. Существует ли случайная величина , не зависящая от ; не зависящая от , и такая, что + = ?
4
1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
J По свойству 4
(z) = (z) (z):
(z) = 0; 25 + 0; 5z + 0; 25z2; (z) = 0; 3 + 0; 7z:
0; 25 + 0; 5z + 0; 25z2 = (0; 3 + 0; 7z)P1(z);
ãäå P1(z) некоторый многочлен первой степени (производящая функция(z)). Но правая часть уравнения имеет корень z0 = 3=7, а левая часть обращается в ноль только при z1 = 1; поэтому такого многочлена не существует, а значит, не существует случайной величины , удовлетворяющей
условиям.I
Пример 6. Неотрицательная целочисленная случайная величина име-
ет производящую функцию (z). Выразить через (z) следующий ряд:
1
P znP( > n).
n=0
J Для экономии записи будем обозначать P( = k) = pk: Выпишем несколько первых членов суммы
1
X
znP( > n) = z0P( > 0) + z (p1 + p2 + : : :) + z2(p2 + p3 + : : :) + : : :
n=0
Поскольку неотрицательная целочисленная величина,
P( > 0) = 1;
следовательно,
1
X
znP( > n) = 1 + z (p1 + p2 + : : :) + z2(p2 + p3 + : : :) + : : :
n=0
Выразим суммы, стоящие в скобках, через обратные вероятности:
p1 + p2 + : : : = 1 p0;
p2 + p3 + : : : = 1 p0 p1;
p3 + p4 + : : : = 1 p0 p1 p2;
: : :
и раскроем скобки:
1
X
znP( > n) = 1 + z zp0 + z2 z2p0 z2p1+
n=0
+ z3 z3p0 z3p1 z3p2 + : : :
5
1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
1
X
znP( > n) = (1 + z + z2 + : : :) zp0(1 + z + z2 + : : :)
n=0
z2p1(1 + z + z2 + : : :) + : : :
Из определения производяшей функции известно, что jzj 6 1, следовательно, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 + z + z2 + : : : = 1 1 z :
Тогда
1
XznP( > n) = 1 1 z 1 1 z zp0 1 1 z z2p1 1 1 z z3p2 + : : :
n=0
Вынесем общий множитель 1=(1 z) за скобки и объединим все члены ряда, начиная со второго:
1 |
1 |
1 |
z |
1 |
z p0 + zp1 |
+ z2p2 |
+ : : : : |
|
znP( > n) = |
|
|||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Во внутренней скобке получили непосредственно функцию (z). Таким образом,
1 |
|
|
X |
|
|
znP( > n) = |
1 |
(1 z (z)) : I |
1 z |
||
n=0 |
|
|
Пример 7. Найти производящую функцию суммы случайного числа слу- чайных величин
= 1 + 2 + : : : ;
åñëè i; 8 i распределены по закону Пуассона с параметром и независимы, а имеет биномиальное распределение B(N; p).
J Производящая функция распределения Пуассона: (z) = e (z 1), произ- водящая функция биномиального распределения: (z) = (q + pz)N : Тогда
= ( ) = (q + pe (z 1))N : I
Задачи
1.Доказать свойства 1, 2, 3 производящей функции:
(1) = 1; (0) = p0; pk = |
(k)(0) |
: |
k! |
6
1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
2.Являются ли производящими функции
|
1 |
|
4 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
(2 + 3t)2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1(t) = |
|
t + |
|
t3; |
2(t) = |
|
+ |
|
|
t ; 3 |
(t) = |
|
? |
5 |
5 |
3 |
3 |
5 |
Если да, то какие распределения им соответствуют?
3. |
Доказать, что если i независимы, то Pi |
i(z) = Qi |
i(z): |
|
4. |
Найти производящие функции следующих распределений: |
|||
|
à) |
биномиального распределения; |
|
|
|
á) |
геометрического распределения; |
|
|
|
â) |
отрицательного биномиального распределения. |
|
5. Найти распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:
(1 + z)2
à) 4 ;
á) e (z 1); > 0;
â) (p + qz)n:
6. Доказать, что E = 0(1).
7.Производящая функция суммы двух случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?
8.При каких значениях параметров дробно-линейная функция
(z) =
az
1 + bz
является производящей функцией вероятностного распределения?
9. Пусть и независимые случайные величины, причем принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 каждое, a значения 0,
1, 2 с вероятностями 1/8, 1/2 и 3/8 соответственно. Найдите с помощью производящих функций распределение случайной величины = + .
10. Пусть и случайные величины, причем принимает зна- чения 0 и 1 с вероятностями 1/2 каждое, a значения 0, 1, 2, 3
с вероятностями 1/8, 1/4, 1/2 и 1/8 соответственно. Доказать, что не существует случайной величины , не зависящей от и такой, что
+ = :
7
1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
11.Пусть и случайные величины, причем принимает зна- чения 0, 1, 2 с вероятностями 0,5; 0,25; 0,25; а значения 0, 1, 2, 3, 4
ñвероятностями 0,6; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1 соответственно. Существует ли случайная величина , не зависящая от ; не зависящая от , и такая,
÷òî + = ?
12. Пусть и независимые случайные величины, причем +
принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/3 каждое. Доказать, что одна из величин ; имеет вырожденное распределение.
В задачах 13 15 неотрицательная целочисленная случайная величи- на имеет производящую функцию (z). Выразить через (z):
13. E z2 +1.
1
14. P znP( 6 n).
n=0
1
15. P znP( = 2n).
n=0
16.Пусть имеет геометрическое распределение. Найти производящую функцию случайной величины = max(N; ); N 2 Z+ [ f0g:
17.Найти математическое ожидание и дисперсию по производящей функции (z) = 0; 2(1 0; 8z) 1.
18.Найти факториальный момент второго порядка по производящей функции (z) = (0; 7 + 0; 3z)5:
19.Доказать, что распределение Пуассона является безгранично
делимым.
20.Является ли безгранично делимым отрицательное биномиальное распределение?
8