6. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

6. Центральная предельная теорема

ЦПТ утверждает, что при довольно широких условиях распределение суммы случайных величин стремится к нормальному распределению.

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.

Если случайные величины 1; 2; : : : независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания и дисперсии E i = a; D i = 2, òî ïðè n ! 1

	0	n				< x1
P		i=1 i na					!	(x);
	BP pn					C
	B					C
	@					A

ãäå (x) функция стандартного нормального распределения.

ЦПТ в условиях Ляпунова. Пусть случайные величины f ig независимы и

			E i = ai; D i = 2			;
					i
Тогда	Ck3 = E j k akj3;			Cn3 = Pkn=1 Ck3;		Bn2 = Pin=1 i2:
		Cn		n ( k	ak) d
			n!1! 0 =)	Pk=1 Bn	! u 2 N(0; 1):
		Bn

(Условие BCn ! 0 называется условием Ляпунова.)

n n!1

ЦПТ в условиях Линдеберга. Пусть

1) случайные величины f ig независимы,

1		n	Z
		X k					n
2) Ln( ) = B2					(x ak)2 dFk(x) n ! 0, для любого > 0.
	n k=1			j						!1
		j	a		> B
		x
ãäå Bn2 = D (Pin=1 i), ak = E k.nТогда								k		! u 2 N(0; 1):
						Pk=1 Bn			)
							( k	a		d

Пример 26. Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от своего математического ожидания не более чем на 0,04.

J

Обозначим упомянутые величины i. Требуется найти вероятность

0 n

1

P

i

P Bi		=1	a	6 0; 04C	:
		n
B				C
@				A

31

6. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Преобразуем выражение под знаком вероятности:

P

n

i

a

0; 041

= P

n

0; 041

=

0 i=1

6

0 i=1 i na

6

P

P

n

n

C

C

B

B

B

C

B

C

@

n

A

@

A

0 i=1

i

na

= P

0; 04pn1

P

6

!

pn

C

B

B

C

@

A

!

0

=

0; 04pn

; 04pn

= 2 0

0

:

; 04pn

где (x) функция стандартного нормального распределения, 0(x) функция Лапласа. Остается подсчитать аргумент функции Лапласа и вос-

пользоваться таблицей значений функции Лапласа: p

0; 04 n = 1; 2; 2 0(1; 2) 0; 7699: I

Пример 27. В страховой компании застраховано n автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна p. Каждый владелец автомобиля платит в год A рублей страховых и полу- чает в случае поломки автомобиля в результате аварии от компании b

рублей. Найти вероятность того, что по истечении года работы страховая компания получит прибыль не менее C рублей.

J Свяжем с каждым владельцем автомобиля случайную величину,

равную сумме, которую ему выплачивает компания в результате аварии. Очевидно, все такие величины i; i = 1; : : : ; n одинаково распределены по следующему закону:

n		0	b	:
P		1 p	p

Прибыль компании равна разности между ее доходами, равными nA, и

n

затратами, равными P i. Таким образом, надо найти вероятность того,

i=1

n

P

÷òî na i > C. Поскольку величины 1; 2; : : : ; n независимы и одина-

i=1

ково распределены, можно применить центральную предельную теорему. Найдем матожидание и дисперсию величин i:

a = E i = bp; 2 = D i = b2p(1 p):

32

6. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

P nA

n

i > C! = P

n

i 6 nA C! =

Xi

X

=1

i=1

n

1

= P

0i=1 i nbp

6

na C nbp

nA C nbp

;

BP pn

pn

C

pn

B

C

@

A

2

p(1 p), (x) функция

где равняется корню из дисперсии D i = b

стандартного нормального распределения. I

Задачи

90.Измеряемый показатель является средней арифметической

3200 независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Найти вероятность того, что примет значение в промежутке (2,95; 3,075).

91.В результате медицинского осмотра 900 абитуриентов установлено, что средний вес абитуриентов на 1,2 кг больше веса абитуриентов за один из предшествующих периодов. Можно ли это отклонение объяснить случайностью, если среднее квадратическое отклонение веса абитуриентов равно 8 кг?

92.Если среднее число продаж является средней арифметической

независимых и одинаково распределенных случайных величин, дисперсия каждой из которых равна 5, то сколько нужно взять таких величин, чтобы случайная величина с вероятностью, не меньшей 0,9973, име-

ла отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,01?

93.Дисперсия каждой из 4000 независимых, одинаково распределенных случайных величин, представляющих из себя время безотказной работы телевизора, равна 10. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от своего математи- ческого ожидания не более чем на 0,1.

94.Случайная величина является средней арифметической неза-

висимых и одинаково распределенных случайных величин, среднее квадратическое отклонение каждой из которых равно 2. Какое максимальное отклонение величины от ее математического ожидания можно ожи-

дать с вероятностью, не меньшей 0,9544?

95. Найти приближенное значение для вероятности того, что число успехов при n = 100 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха

33

6. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

=0; 4 лежит в пределах 35 и 45; 38 и 53. При каких значениях n вероятность того, что частота успеха находится в пределах [0; 35; 0; 45],

будет больше 0,998?

96. В условиях предыдущей задачи каково должно быть число испытаний n, чтобы с вероятностью 1 частота успеха отличалась

от вероятности успеха не более, чем на " > 0? Решить задачу при

= 0; 05; " = 0; 01:

97.Цех завода производит детали. За смену производится n = 20000 деталей. Вероятность того, что одна деталь окажется дефект-

ной, равна 0,01, причем причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль сразу после изготовления, при этом дефектные детали ссыпаются в специальный ящик. Определить, на какое количество деталей должен быть рассчитан ящик, чтобы с вероятностью 0,99 после смены он не оказался переполненным.

98. Предположим, что в условиях предыдущей задачи причины брака являются в некоторой степени общими, так что вероятность одной детали, изготовленной в течение данной смены, быть дефектной, при условии, что любая другая деталь уже была дефектной, равна 0,08. Счи- таем, что известно, что закон распределения суммарного числа дефектных деталей является приближенно нормальным.

99. Дана последовательность независимых случайных величин f ng; n 2 R[ an; an]. Будет ли применима ЦПТ, если a) последовательность fang ограничена снизу и сверху; б) an ! 0; â)an = n ?

100. Исследовать, применима ли ЦПТ к сумме независимых слу- чайных величин 1; 2; : : : , заданных законами распределения

n		n			0				n		:
					1			1
		1
P					1
			2n			n		2n

101. Пусть f ng последовательность независимых нормально распределенных случайных величин, E n = 0; D 1 = 1; D n = 2n 2; n > 2:

Показать, что в этом случае условие Линдеберга не выполнено, но ЦПТ имеет место.

102. Будет ли в условиях предыдущей задачи выполняться условие Ляпунова?

34