' = 'nn:

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2. Характеристические функции

Характеристической функцией ' (t); 1 < t < 1 вещественной случайной

величины называется функция ' (t) = E eit :

' (t) = E eit = E(cos t ) + i E(sin t ):

Для непрерывной случайной величины

11

ZZ

' (t) =	eitx dF (x) = eitxf (x) dx:
1	1

Свойства характеристических функций

1.j ' (t)j 6 1.

2.' (0) = 1.

3.Характеристическая функция равномерно непрерывна.

4.Åñëè = a + b, òî ' (t) = eitb' (at):

5.Связь характеристической функции с моментами случайной величины: '(k)(0) = ik E k = ik k (если k-й момент существует).

Следствие. E k = '(k)(0): ik

E = i'0(0); D = E 2 (E )2 = '00(0) + ('0(0))2:

6.Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

n

Y

' 1+ + n(t) = ' i(t):

i=1

Если существует функция плотности f (x), то справедлива формула

1			e itx'(t) dt:	(2)
f (x) = 2 Z
1
		1

Справедливы теорема единственности:

Функция распределения однозначно определяется своей характеристической

функцией;

и теорема непрерывности:

Пусть имеются характеристические функции f'n(t)g и cоответствующие

функции распределения fFn(x)g. Тогда Fn(x) ! F (x) в любой точке непрерывности

n!1

F 'n(t) ! '(t) в любой точке t.

n!1

Распределение c характеристической функцией ' безгранично делимо, если для любого целого положительного n существует характеристическая функция 'n, такая, ÷òî

9

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Пример 8. Найти характеристическую функцию случайной величины, распределенной по закону Бернулли.

J Напомним, что закон Бернулли задается рядом распределения

	0	1
p	1 p	p

Найдем математическое ожидание функции eit .

E eit = (1 p)e0 + peit 1 = 1 + p(eit 1):

Полученное выражение и есть характеристическая функция

' (t) = 1 + p(eit 1): I

Пример 9. Найти характеристическую функцию случайной величины, имеющей равномерное распределение на [ a; a].

J

'

(t) =

1 eitxf

(x)dx =

1

a eitxdx =

1

eitx a

=

eita e ita

:

I

2a

2ait

2ita

Z1

Z a

a

Пример 10. Найти характеристическую функцию случайной величины, распределенной по показательному закону.

J Показательный закон задает плотность распределения

f (x) = e x

ïðè

x > 0:

0

ïðè

x < 0;

Найдем математическое ожидание функции eit :

+1

+1

+1

E eit = Z0

eitxf (x) =

Z0

eitx e x dx = Z0

e(it )x dx =

e(it )x

+1

eixte x +1

lim eixte x

=

= it

= it

0

= it

0

!+1

0

i t

0 0

=

lim

e

e

e e

=

=

:

Таким образом,

it !+1

it it

' (t) =

: I

it

10

Пример 12.

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Пример 11. Найти с помощью характеристической функции все на- чальные моменты случайной величины, имеющей распределение E .

Согласно следствию из свойства 5 характеристической функции,

E k = '(k)(0): ik

Как было установлено в решении предыдущего примера,

' 2E (t) = it:

Если разделить числитель и знаменатель этой дроби на и восполь-

зоваться тем, что полученное выражение представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, то выводим

1

1

it

k

=

= k=0

:

it

1

it

X

Разложив функцию ' (t) в ряд Маклорена, получаем

1		it			k	1 '(k)
k=0					=	k=0	k!(0) tk;
X						X

а, следовательно,

i k = '(k)(0);

k!

откуда

'(k)(0) = ik k!:k

Теперь очевидно, что

E k = kk! : I

Найти плотность случайной величины по известной характеристической функции ' (t) = e jtj.

J Для нахождения плотности случайной величины по известной характеристической функции служит формула (2). Воспользуемся ей для ре-

11

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

шения задачи.

				+1									0				+1
f (x) = 2 Z						e itxejtj dt = 2 Z									e itxet dt + 2 Z								e itxe t dt =
		1									1								1
				1				! 1(				1					0									0
	2					1 ix							) +			1 ix ! 1
=	1					1			lim	e itxet					0	1						lim (e itxe t)					=
1						1				1								1 1 + ix + 1								ix
=							(1		0) +						( 1) =												=
2				1 ix						ix 1							2 (1 ix)(1 + ix)
																	= 2						1 + x2		= (1 + x2):
																	1						2				1

Сравнивая полученное выражение f (x) с плотностями распределе-

ний, включенных в таблицу ??, заключаем: случайная величина, имеюшая характеристическую функцию ' (t) = ejtj, распределена по закону Коши

ïðè a = 0, = 1. I

Задачи

21.Выразить характеристическую функцию случайной величинычерез характеристическую функцию случайной величины .

22.Выразить через характеристическую функцию случайной вели- чины характеристические функции случайных величин + 2 и 2 .

В задачах 23 27 найти характеристические функции случайных величин, имеющих заданное распределение.

23.B (N; p).

24.N (0; 1).

25.N(a; ).

26.R [a; b].

27.( ; ).

28.Найти с помощью характеристической функции все начальные моменты случайной величины, имеющей равномерное распределение

R [a; b].

29.Доказать, что характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда она четна.

30.Пусть ; независимые, одинаково распределенные случайные величины с характеристической функцией ' (t). Найти характеристиче- скую функцию случайной величины .

12

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

31.Найти плотность случайной величины по известной характе-

ристической функции

1

' (t) = 1 it:

32. Пусть случайная величина, имеющая распределение Коши. Могут ли существовать две независимые случайные величины ; такие, что + = ; и одна из них имеет равномерное на некотором отрезке распределение?

33.Выразить через характеристическую функцию ' (t) характеристическую функцию случайной величины a + b, (a; b константы).

34.Пусть случайная величина имеет безгранично делимое распределение. Доказать, что при любых вещественных a; b распределение случайной величины a + b также безгранично делимо.

35.Доказать, что нормальное распределение является безгранично делимым.

36.Доказать, что показательное распределение является безгранично делимым.

37.Является ли безгранично делимым распределение Коши?

38.Найти с помощью характеристических функций плотность

распределения + , если 2 N (a1; 1);	2 N (a2; 2); ; незави-
ñèìû.
39. Найти с помощью характеристических функций плотность
распределения + , если 2 E ; 2 E ;	; независимы.

13