III уровень

3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС.

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3. Задан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямой CD₁ и плоскостью BDC₁.

3.4. На ребре АВ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C₁, P, D, и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а.

3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость  так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью , если АВ = а, AD = b. Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.

3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.

12.2. Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани). Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 12.9). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Рис. 12.9

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т. е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы:

(12.1)

где S_бок – площадь боковой поверхности; P – периметр перпендикулярного сечения; l – длина бокового ребра; S_полн – площадь полной поверхности; S_осн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q – площадь перпендикулярного сечения.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 12.10). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Рис. 12.10

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы:

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где S_бок – площадь боковой поверхности; P – периметр перпендикулярного сечения; l – длина бокового ребра; S_полн – площадь полной поверхности; S_осн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q – площадь перпендикулярного сечения.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

(12.2)

где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(12.3)

где p – периметр основания; H – высота; d – диагональ; a, b, c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где d – диагональ куба; a – длина ребра.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2 : 6 : 9. Найти измерения парал­лелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (12.3), т. е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k, 6k и 9k. Запишем формулу (12.3) для данных задачи:

т. е.

Решая это уравнение относительно k, получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Пример 2.Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение.Сделаем рисунок (рис.12.11).

Рис. 12.11

Для того чтобы найти объем наклонной призмы, необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А₁ верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А₁D. Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим А₁АD: так как это угол наклона бокового ребра А₁А к плоскости основания, А₁А = 8 см. Из этого треугольника находим А₁D:

Теперь вычисляем объем по формуле (12.1):

Получаем ответ: 192 см³.

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.12)

Рис. 12.12

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA₁D₁D, так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Получаем ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см² и 875 см². Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.13).

Рис. 12.13

Обозначим сторону ромба через а, диагонали ромба d₁ и d₂, высоту параллелепипеда h. Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (12.2)). Периметр основания р = АВ + ВС + + CD + DA = 4AB = 4a, так как ABCD – ромб. Н = АА₁ = h. Таким образом Необходимо найти а и h.

Рассмотрим диагональные сечения. АА₁С₁С – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d₁, вторая – боковое ребро АА₁ = h, тогда

Аналогично для сечения ВВ₁D₁D получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е. получаем:

Из первых двух равенств выразим и подставим в третье. Получим:

и далее

Тогда

Получаем ответ: 1850 см².

Пример 5. На ребрах СС₁, AD и АВ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки Р, М, R – середины этих ребер. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М, R. Считая ребро куба равным 24 см, найти площадь полученного сечения.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.14).

Рис. 12.14

Построение. Прямая MR – след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Получается искомое сечение куба PNRMK. Для вычисления его площади воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Рассмотрим многоугольник PNRMK, его ортогональная проекция – СВRMD, определим, где угол между плоскостями этих многоугольников. Ребром двугранного угла является прямая MR. Из точки Р опустим перпендикуляр на прямую MR: точка Е – середина отрезка MR. – угол между плоскостью многоугольника и его проекцией. Теорему запишем в виде

Тогда

Вычислим Так как ABCD – квадрат, а треугольник – равнобедренный то

Вычислим

из

Площадь сечения:

Получаем ответ:

Задания