Решение типовых задач

Задача 2. Основой расчета средней величины является экономическое содержание показателя (исходное соотношение).

Средняя прибыль

рентабельность = –––––––––––––––––––––––––––––

продукции полная себестоимость продукции

В том случае, если знаменатель исходного соотношения известен для расчета средней величины применяют формулу средней арифметической взвешенной. если же знаменатель соотношения неизвестен - расчет производится по формуле средней гармонической взвешенной.

Для расчета средней рентабельности продукции предприятия в базисном году применяем формулу средней арифметической взвешенной:

 xf 0, 20 * 890 +0,18 * 750

Х = или 19,1%

f 890 + 750

За отчетный год среднюю рентабельность продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:

 xf 165 + 150

Х = ------------ = ------------------------------- = 0,199 или 19,9 %

 (xf / x) (165 / 0,19) + (150 / 0,21)

Задача 5. среднее значение признака из интегрального ряда можно определить двумя способами:

xf

1) по средней арифметической взвешенной: x = ------------

 f

В этой формуле за величину x принимается средняя интервала в каждой группе:

2) по способу моментов:

[( X - A) / i] * f

Х = А +m₁ * i , где m₁ = ----------------------

f

А - постоянная величина, за которую принимается варианта (середина интервала) находящаяся в центре ряда.

i - величина интервала.

Способы расчета представим в следующей таблице.

стаж работы (лет)	число рабочих	середина интервала Х	Х-А=Х-12,5	х-а i	[( x-a)/ i ]*f
до 5	15	(0+5)/2=2,5	-10	-2	-30
5 -10	25	(5+10)/2=7,5	-5	-1	-25
10 - 15	12	(10+15)/2=12,5	0	0	0
15 - 20	28	(15+20)/2=17,5	+5	+1	+28
20 и более	20	(20+25)/2=22,5	+10	+2	+40
Итого	100				+13

I способ расчета:

Х = xf = 2,5*15+7,5*25+12,5*12+17,5*28+22,5*20 = 1315 = 13,2 года

 f 100 100

II способ расчета,

подставив данные таблицы в формулы, получим:

x = 12,2 + (13 / 100) * = 13,2 года

Оба способа расчета дали одинаковый результат.

В интервальных рядах с с равными интервалами определяют моду и медиану.

Модальный интервал устанавливают по наибольшей частоте. В нашей задаче наибольшая частота - 28, следовательно, мода находится в интервале от 15 - 20. Затем рассчитывают значение моды по формуле:

f_мод - f _{предмод}

M_о = _o + i _* ------------------------------------------

( f_мод - f _{предмод} ) +( f _мод - f _{последмод} )

где Х_о - нижняя граница модального интервала,

f_{послемод} - частота интервала, следующего за модальным;

f_{предмод} - частота интервала, предшествующего модальному.

Подставляем числовые значения в формулу:

М_о =( 15 +5 )* (28 - 12) / [ (28-12)+(28-20) ] = 15 +5 * 0,667 = 18,3 года

Вывод: наиболее часто встречаются рабочие со стажем работы 18,3 года.

Медианный интервал устанавливают по накопленным частотам.

Построим ряд накопленных частот:

Стаж работы (лет)	Число рабочих f	Накопленные частоты Sn
до 5	15	15
5 - 10	25	15 + 25 = 40
10 - 15	12	40 + 12 = 52
15 - 20	28	52 + 28 = 80
20 и более	20	80 + 20 = 100

Итого: 100

Медиана должна находиться в том интервале, где первая накопленная частота равна половине всей совокупности или больше половины ее. В нашей задаче половина совокупности -50 (100/2), а первая накопленная частота, которая больше половины совокупности - это 52, значит медицина находится в интервале 10 - 15.

Расчет непосредственно медианы производится по формуле:

fS _{n - 1}

М _е = Х_о + i f _me

где: Хо - нижняя граница медианного интервала;

i - величина интервала,

 f - сумма всех частот,

S_n-1 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу,

f_me - частота медианного интервала.

Ме = (10 + 5 ) * (100 / 2 - 40) / 12 = 14,2 года.

Таким образом, половина рабочих имеет стаж работы до 14,2 года, а другая свыше 14,2 года.

По условию задачи N5 рассчитаем показатели вариации.

1. Размах вариации как разность экстремальных значений признака:

R = Xmax - Xmin

R = 22,5 - 2,5 = 20 лет

2. Среднее линейное отклонение как средняя арифметическая взвешенная из абсолютных отклонений индивидуальных значений от средней величины:

x-x/f

L = --------------

 f

L=[/12,5-13,2/*15+/7,5-13,2/*25+/12,15-13,2/*12+/17,5-13,2/*28+/22,5--13,2/*20] / 100 = 616 / 100 = 6,16

3.Дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней величины. Дисперсию можно рассчитать несколькими способами.

По формуле:

( x - x)² f

G² = f

G²=[(2,5-13,5)²*15+(7,5-13,5)²*25+(12,5-13,5)²*12+(17,5-13,5)²*28+(22,5-13,5)²*20] / 100 = 4783 / 100 = 47,83

Второй способ расчета дисперсии по способу моментов основан на математических свойствах дисперсии и производится по формуле:

G² = (m₂ - m₁²)*i²

где i - величина интервала.

[(x-a) / i]*f (x-a) / i]²*f

m₁ =  f , m₂ =  f

стаж работы (лет)	число рабочих f	середина интервала х	х - а	(x - a) / i	[(x-a)/i]*f	[(x-a)/i]^2	[(x-a)/i]^2*f
до 5	15	2,5	-10	-2	-30	4	60
5 - 10	25	7,5	-5	-1	-25	1	25
10 - 15	12	12,5	0	0	0	0	0
15 - 20	28	17,5	+5	+1	+28	1	28
20 и более	20	22,5	+10	+2	+40	4	80
Итого	100				+13		193

Исчислим моменты первого и второго порядков (m₁ и m₂):

[(x-a) / i]* f

m₁ =  f = 13 / 100 = 0,13

(x-a) / i]²*f

m₂ =  f = 193 / 100 = 1,93

i - величина интервала равна 5, тогда

G² = (m₂ - m₁²)*i²

G^{2 =} (1,93 - 0,13²)*5² = (1,93-0,0169)*25 = 47,83

4. Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:

G = ±

_{}

G = ± = 6,9 года

Коэффициент вариации - относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней величине:

_{}

V ±

V±

Коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации признака по различным совокупностям (см. задачи N11 и N 14).

Задача 16. Исчислим дисперсию упрощенным способом:

__ _

G² = х² - х²

х² =

х^-2 

G² = 775 - 767,3 = 7,7

Задача 18. Дисперсия альтернативного признака (или дисперсия доли) исчисляется по формуле:

G² = p + q

где р - доля единиц, обладающих данным признаком.

q - доля единиц, не обладающая этим признаком.

Поэтому р + q = 1 q = 1 - р

В нашей задаче доля продукции 1 сорта равна : р = 396,5 / 610 = 0,65 или 65% . Следовательно, 35% продукции не относятся к 1 сорту, т.е. не обладают данным признаком. (q = 1 - 0,65 = 0,35) Следовательно, дисперсия удельного веса продукции 1 сорта :

G² = 0,65 * 0,35 = 0,23

Задача 20.