- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Линейные операции над векторами
Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы исносятся в общую точку(рис. 4.1), на них строят параллелограмми его диагональназываютсуммой векторови.
Рис. 4.1.
Поскольку вектор равен, то можно дать другое правило нахождения суммы(правило треугольника): суммой векторовиявляется вектор, идущий из началав конец, если векторприложен к концу вектора, т.е.:
|
(4.1) |
Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную, то суммой этих векторов является вектор, замыкающий эту ломаную, т.е.:
|
(4.2) |
В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нуль-вектору.
Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения ‑ сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.
Разностью двух векторови, отложенных от одной точкиявляется вектор, направленный из конца вычитаемого векторав конец уменьшаемого вектора, т.е.(Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к., то.
Рис. 4.2.
Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).
Вектор равен, где‑ некоторое число, если:
коллинеарен;
длина вектора отличается от длины векторавраз, т.е.;
при ,инаправлены в одну сторону, при‑ в разные.
Произведение вектора на скаляробладает следующими свойствами:
;
;
;
;
.
Проекция вектора на ось
Пусть даны ось и вектор. Проектируя начало и конец вектора на ось, получим на ней вектор.Проекцией векторана осьназывается число, равное длине вектора, взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли векторв ту же сторону, что и осьили в противоположную. Проекция векторана осьобозначается.
Свойства проекций:
, где‑ угол между вектороми осью;
;
.
Пусть – произвольная конечная система векторов;‑ произвольная система действительных чисел. Векторназывается линейной комбинацией векторов этой системы.
Из свойства проекций следует, что:
Линейная зависимость векторов
Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:
|
(4.3) |
следует, что .
В противном случае векторы называютсялинейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде, то говорят, что векторлинейно выражается через векторы.
Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.
Следствие.Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым.
Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора илинейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинеарные векторыилинейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например,линейно выражается через второй, т.е., а это противоречит неколлинеарностии. Следовательно,и- линейно независимы.
Пусть инеколлинеарные векторы,‑ произвольный вектор компланарный векторами. Отложим векторыиот одной точки, т.е. построим(Рис.4.3).
Рис. 4.3.
Из параллелограмма видно, что:
.
Следовательно, любые три компланарных вектора илинейно зависимы.
Любые три некомпланарных вектора илинейно независимы.
Если предположить, что три некомпланарных вектора илинейно зависимы, то один из них, например, линейно выражается черези, т.е., а это говорит о том, что три вектораилежат в одной плоскости, что противоречит условию.
Три вектора илинейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.
Пусть векторы ив некотором базисе имеют координаты,исоответственно. Тогда векторыилинейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторыилинейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа, неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:
.
Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:
(4.4)
Если один из векторов, например, , является нулевым, то системаокажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при.
Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.