- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Гипербола
Гиперболойназывается линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точекиесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние междуи).
Точки иназываютсяфокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусовиобозначим через. По условию,.
Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:
(7.6) |
где ‑ координаты произвольной точки гиперболы,.
Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.
Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямымии.
Так как в уравнение входят только четные степени и, то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем:.
График этой функции от точки уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:
(7.7) |
x
y O A(a,0) Рис.
7.7
Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты.
Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны ипараллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являютсяасимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).
Рис 7.8.
Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точкиипересечения гиперболы с осьюназываются вершинами гиперболы. Величиныиназываются полуосями гиперболы. Если, то гипербола называетсяравносторонней.
Эксцентриситетом гиперболыназывается число. Для любой гиперболы. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси. На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями.
Рис. 7.9
Фокальными радиусами точки гиперболыназываются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусамии. Их длиныизадаются формулами:
Для правой - ветви ,
Для левой - ветви .
Прямые называютсядиректрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением.
Парабола
Параболойназывается линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки(фокуса) и данной прямой(директрисы).
Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокусперпендикулярно директрисев направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусоми точкойпересечения осис директрисой. Если обозначить черезрасстояние фокуса от директрисы, тои уравнение директрисы будет иметь вид.
В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:
(7.8) |
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, чтоможет принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси. Так как уравнение (7.8) содержиттолько в четной степени, то парабола симметрична относительно оси,и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти.
При неограниченном возрастании неограниченно растет и. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.
С
y
x O Рис.
7.10
Рис.7.10
Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.