- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Контрольные вопросы к лекции №8
Понятие евклидова пространства.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Понятия размерности и базиса линейного пространства.
Линейное преобразование векторов.
Лекция 9. Матрицы
Основные понятия:
матрица; элемент матрицы; размер матрицы; строка; столбец; квадратная матрица; главная диагональ; побочная диагональ; диагональная матрица; скалярная матрица; единичная матрица; нулевая матрица; сумма матриц; произведение матриц; согласованные матрицы; транспонирование матриц; определитель матрицы; минор; алгебраическое дополнение; линейная зависимость; линейная комбинация; ранг матрицы; окаймляющий минор; элементарные преобразования матрицы; обратная матрица.
Основные понятия
Прямоугольная таблица:
|
(9.1) |
состоящая из строк истолбцов, называетсяматрицейразмераили-матрицей.
Матрицу (9.1) будем обозначать или. Числаназываются элементами матрицы, индексобозначает номер строки, а индекс‑ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.
Если , то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка.
В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементовназывается главной диагональю, состоящая из элементов‑ побочной диагональю.
Квадратная матрица:
называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е., то такая матрица называетсяскалярной. Скалярная матрица, у которойназывается единичной и обозначается буквой. Например, единичная матрица третьего порядка:
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.
Матрицы иназываются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.
Операции над матрицами
Суммой двух матриц иодинакового размера называется матрицатого же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е..
Сложение матрицобладает следующими свойствами:
Коммутативность, т.е. .
Ассоциативность, т.е. .
Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .
Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .
Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:
;
;
;
(ассоциативность);
(дистрибутивность);
(дистрибутивность).
Матрица называетсясогласованнойс матрицей , если число столбцов матрицыравно числу строк матрицы. В этом случае произведением матрицына матрицуназывается матрица, где, т.е. элемент, стоящий в-той строке и-том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов-той строки матрицына соответствующие элементы-го столбца матрицы.
Свойства умножения:
Если матрица согласована с матрицей, а матрицасогласована с матрицей, то‑ассоциативность умножения;
‑свойство дистрибутивности;
Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило,.
Транспонированием матрицы называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е.-я строка матрицыстановится-тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрицеобозначается.
Свойства транспонирования: