zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre

1.3. Свойства счетных множеств

11

Доказательство. Действительно, выберем из множества A произвольный элемент a1, так как A бесконечно, то мы можем в A выбрать другой элемент a2 a1, далее выбираем в A элемент a3, отличный от a1 и a2 и т. д. Пусть B {a1, a2, a3, }. Очевидно, B — счетно.

Теорема 1.6. Всякое бесконечное подмножество B счетного множества A само счетно.

Доказательство. Так как A счетно, то мы можем считать, что A {a1, a2, a3, }. Найдем наименьший индекс i1 (номер в ряду элементов), такой, что ai1 B, далее выберем наименьший индекс i2, отличный от

i1, для которого ai2 B и т. д.	Таким образом, B {a1, a2, a3, }.
Очевидно, B — счетно.

Теорема 1.7. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств — счетно.

Доказательство. Докажем утверждение для случая счетного множества счетных множеств. Пусть

A1	{a11, a12, a13, }
A2		{a21, a22, a23, }
A3		{a31, a32, a33, }

.

.

.

— семейство счетных множеств. Для установления биекции A1 A2

N необходимо предложить некоторое правило обхода элементов этих множеств, например:

a11 a12			a13 a14
a21
		a22	a23	a24
		a32
a31			a33	a34
a31 a32 a33 a44
.		.	.	.
.		.	.	.
.		.	.	.

2A

устанавливается сюръек-

12 Глава 1. Счетные и континуальные множества

Следуя по стрелке, мы присваиваем элементам множеств Ai порядковые номера и тем самым строим отображение в N. Элементы, встретившиеся неоднократно, конечно, пропускаются (это возможно, так как множества Ai не обязаны не пересекаться).

1.4.Теорема Кантора

Для произвольного конечного множества A из (1.1) следует неравенство A 2A . Оказывается, это неравенство справедливо и для произвольного бесконечного множества.

Теорема 1.8 (Кантор). Для произвольного множества A

A 2A .

Доказательство. Неравенство A

цией x {x}.

Чтобы доказать, что A 2A , покажем, что допущение о существовании биекции : A 2A приводит к противоречию. Действитель-

но, пусть — биекция из A в 2A. Рассмотрим множество
I {x A x / }	(1.2)

(множество I содержит те и только те элементы, которые не содержатся в своем образе). Так как — биективное отображение, то для любого элемента из 2A найдется прообраз в A. Пусть для I 2A таким прообразом будет некоторый элемент i: i I. Теперь попробуем решить

	?
вопрос ‘i I’.
1)	Если i I, тогда по (1.2) i / i. Однако i I, т.е. i / I.
2)	Пусть i / I, тогда по (1.2) получаем i i, т.е. i I.

Оба раза мы приходим к противоречию, следовательно, не верно наше предположение о существовании биекции .

1.5.Несчетность множества действительных чисел

Основная задача данного раздела — доказать, что R N .

1.5. Несчетность множества действительных чисел

13

Теорема 1.9 (Несчетность множества R). 2N R .

Доказательство. Сперва установим равномощность множеств 2N и [0, 1]. Пусть1 для любого A 2N

(A) (0, 1 2 3 )2, где i	0,	если i A, .
	1,	если i / A

В частности, ( ) 0), (N) 1). Очевидно, что — сюръекция, однако, следующие примеры:

({1, 3}) (0, 101(0))	1			1				5	,
	2
		2		8				8
					1					1		1		1		1		1		5
({1, 4, 5, 6, }) (0, 100(1))2
						2				8		16		32		2		8		8

— показывают, что не является инъекцией: двум разным подмножествам множества натуральных чисел соответствует одно и то же число, или, что эквивалентно, существует [0, 1], обладающее двумя прообразами. Это возможно, если в двоичной системе счисленияпредставимо как бесконечная дробь с периодом (1) или (0). Легко видеть, что множество N таких чисел счетно: оно есть объединение счетного числа конечных множеств, состоящих из чисел, период

(1) которых начинается с первого, второго и т. д. места после запятой. Счетным является также множество M прообразов всех чисел из N (M x 2N : (x) N ). Пусть — некоторая биекция из M в N. Скорректируем теперь отображение . Для любого A 2N положим

(A), если A M, (A) (A), если A / M.

Легко видеть, что — биекция из 2N в [0, 1]. Так как [0, 1] R , то

	2N R .
	Теперь из теоремы Кантора получаем
	Утверждение 1.10. R N .
	1 Через
	(0, 1 2 3 )2		1		2		3		i
			2		4		8		2i

мы обозначили представление действительного числа в двоичной системе счисления.

14	Глава 1. Счетные и континуальные множества

1.6.Декартово произведение

Декартовым произведением A1 A2 An множеств A1, A2, , An называется множество всех упорядоченных наборов (a1, a2, an), таких, что ai A (i 1, 2, n). Декартовой n-ой степенью An множества A называется множество всех упорядоченных наборов (a1, a2, an), таких, что ai A (i 1, 2, n).

Упражнение 1.11. Доказать, что Zn N , Rn R для любого натурального n.

Глава 2

Комплексные числа

См. пособие Н.Ю.Золотых «Комплексные числа».

где aj

Глава 3

Многочлены

Всюду в этой главе через F обозначено некоторое произвольное числовое поле, а через K — некоторое произвольное числовое кольцо.

3.1.Основные определения и простейшие свойства

Многочленом, или полиномом, называется выражение вида

f(x) a0xn a1xn 1 an 1x an,

(3.1)

F (j 0, 1, , n), а x — символ, называемый независимой переменной. Величины aj называются коэффициентами многочлена, а выражения ajxn j — членами (или мономами) многочлена f(x), при этом n j называется степенью монома. Если a0 0, то n называется степенью многочлена, а a0xn — его старшим членом. Многочлен f(x) 0 называется нулевым; его степень не определена. Многочлены 1-й, 2-й и 3-й степени называются линейными, квадратными и кубическими соответственно. Многочлены нулевой степени вместе с нулевым многочленом называют константами. В записи (3.1) члены с нулевым коэффициентом обычно опускают. Помимо записи (3.1), в которой члены записаны в порядке убывания степеней, часто используется запись с упорядочением членов по возрастанию степеней и др. записи. Два многочлена (3.1) и

g(x) b0xm b1xm 1 bm 1x bm

(3.2)

равны, если m n и aj bj (j 0, 1, , n).

Таким образом, мы принимаем алгебраическую точку зрения на многочлены. Возможна также другая — «функциональная» — точка зрения, по которой многочлены рассматриваются как функции f : F F.

3.1. Основные определения и простейшие свойства

17

Эквивалентность этих точек зрения на многочлены над числовыми полями мы установим в теореме 3.41.

Множество всех многочленов с коэффициентами из множества A обозначим A[x].

Многочлены из F[x] можно складывать и умножать. При этом снова получается многочлен из F[x]. Сложение и умножение многочленов выполняется по обычным правилам преобразования алгебраических выражений. Для определения суммы многочленов f(x) и g(x), определенных согласно (3.1) и (3.2), предположим, что m n (чтобы это условие выполнялось припишем, если необходимо, к f(x) или g(x) нужное количество членов с нулевыми коэффициентами). Тогда суммой многочленов f(x) и g(x) называется многочлен

f(x) g(x) (a0 b0)xn (a1 b1)xn 1 (an 1 bn 1)x (an bn).

Произведением многочленов f(x) и g(x), определенных согласно (3.1) и (3.2) (при любых соотношениях между m и n, называется

f(x) g(x) a0b0xn m (a0b1 a1b0)xn m 1 (an 1bm anbm 1)x anbm,

т. е.

f(x) g(x) c0xn m c1xn m 1 cn m 1x cn m, где ck aibj.

i j k

(3.3) Операции сложения и умножения обладают следующими легко проверяемыми свойствами: для любых многочленов f(x), g(x) и h(x) спра-

ведливо

1)f(x) g(x) g(x) f(x) (коммутативность сложения),

2)f(x) g(x) g(x) f(x) (коммутативность умножения),

3)f(x) g(x) h(x) g(x) f(x) h(x) (ассоциативность сложения),

4)f(x) g(x)h(x) g(x) f(x) h(x) (ассоциативность умножения),

5)f(x) g(x) h(x) f(x) g(x) f(x)h(x) (дистрибутивность).

18	Глава 3. Многочлены

Докажем, например, ассоциативность умножения многочленов. Если f(x) и g(x) определены согласно (3.1) и (3.2) соответственно и

h(x) c0xl c1xl 1 cl 1x cl ,

то

f(x) g(x)h(x) d0xn m l d1xn m l 1 dn m l 1x dn m l ,

где, согласно (3.3) (мы пользуемся дистрибутивностью в поле F),

ds ai bjck aibjck			aibj ck.
i t s j k t	i j k s	t k s i j t
Аналогично, если

f(x) g(x) h(x) e0xn m l e1xn m l 1 en m l 1x en m l ,

то
es	aibj ck ds (s 1, 2, , m n l),
t k s i j	t

откуда f(x) g(x)h(x) g(x) f(x) h(x).

Легко видеть, что в F[x] константа 0 (и только она) является нейтральным элементом относительно сложения, т. е. для любого f(x) F[x] справедливо f(x) 0 f(x). Для многочлена f(x) F[x] противоположным называется такой многочлен h(x), что f(x) h(x) 0. Противоположный многочлен обозначается f(x). Легко видеть, что для многочлена f(x), опредленного согласно (3.1), противоположным является

f(x) ( a0)xn ( a1)xn 1 ( an 1)x ( an)

итолько он. Операция вычитания вводится как операцию обратная к сложению, а именно разностью или многочленом, полученным в результате вычитания, многочленов g(x) и f(x) называется такой мно-

гочлен h(x) g(x) f(x), что f(x) h(x) g(x). Легко видеть, что g(x) f(x) g(x) ( f(x)).

3.1. Основные определения и простейшие свойства

19

В F[x] константа 1 (и только она) является нейтральным элементом относительно умножения, т. е. для любого f(x) F[x] справедливо 1f(x) f(x). Для многочлена f(x) F[x] обратным называется такой многочлен h(x), что f(x)h(x) 1. Обратный многочлен (если он существует) обозначается 1/f(x). Из утверждения вытекает, что deg(1/f(x)) deg f(x), откуда получаем, что обратный многочлен существует тогда и только тогда, когда deg f(x) 0, т. е. f(x) — ненулевая константа. Операция деления вводится как операция, обратная умножению, а именно частным или многочленом, полученным в результате деления нацело, g(x) на f(x) называется такой многочлен h(x) g(x)/f(x), что f(x)h(x) g(x). Легко привести примеры, когда деление многочленов нацело невозможно.

Из определения суммы многочленов получаем, что либо f(x) g(x) 0, либо

deg(f(x) g(x)) max {deg f(x), deg g(x)} .

Из определения произведения многочленов получаем, что если f(x) 0 и g(x) 0, то

deg f(x) g(x) deg f(x) deg g(x).

Отсюда получаем, что в F[x] нет делителей нуля, т. е. из равенства f(x) g(x) 0 следует, что f(x) 0 или g(x) 0.

Лемма 3.1 (Лемма о сокращении). Если f(x)h(x) g(x)h(x) и h 0,

то f(x) g(x).

Доказательство. Из равенства f(x)h(x) g(x)h(x) получаем f(x) g(x) h(x) 0. Так как в F[x] нет делителей нуля, то f(x) g(x) 0.

Замечание 3.2. Многое, что было сказано про многочлены с коэффициентыми из поля F, справедливо и для многочленов с коэффициентами из кольца K. В частности, на множестве K[x] также определены операции сложения, вычитания и умножения, причем результаты этих операций принадлежат K[x] (т. е. K[x] замкнуто относительно этих операций). K[x] содержит единственный нейтральный элемент — константу 0. Заметим, что нейтральный элемент относительно умножения — константа 1 — в K[x] может отсутствовать, так как ее может не быть в кольце K (например, 1 нет в кольце четных чисел).

20	Глава 3. Многочлены

3.2.Деление многочлена с остатком

Теорема 3.3. Для любого многочлена f(x) F[x] и любого ненулевого многочлена g(x) F[x] существуют и единственны многочлены q(x) и r(x) из F[x], такие, что

f(x) q(x) g(x) r(x),

где r(x) 0 или deg r(x) deg g(x). Многочлен q(x) называется

частным, а r(x) — остатком при делении f(x) на g(x).

Доказательство. Существование Если f(x) 0 или n m, где n deg f(x), m deg g(x), то положим p(x) 0, r(x) f(x). В противном случае положим

f1	(x) f(x)	a0	xn m g(x),	( 1)
		b0

где a0, b0 — коэффициенты при старших членах многочленов f(x), g(x) соответственно;

f2	(x) f1	(x)	a01	xn1 m g(x),	( 2)
			b0

где n1 deg f1 (x), a a01 — коэффициент при старшем члене многочлена f1 (x);

f3	(x) f2	(x)	a02	xn2 m g(x),	( 3)
			b0

где n2 deg f2 (x), a a02 — коэффициент при старшем члене многочлена f2 (x) и т. д. Вычисления будем продолжать до тех пор, пока не будет получен многочлен

	fs (x) fs 1					(x)	a0s 1	xns 1 m g(x),	( s)
							b0
такой, что fs (x)	0 или ns					deg fs (x) m. Суммируя равенства
( 1), ( 2), , ( s), получаем
	1		(a0xn m a01xn1 m a0s 1xns 1						m) g(x).
fs (x) f(x)
		b0
Пусть
r(x) fs (x),	1				(a0xn m a01xn1 m a0s 1xns 1 m).
	q(x)
				b0