zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre

4.7. Базис линейного пространства

81

Следствие 4.29. Для любой системы число векторов в произвольной базе одинаково.

Число векторов в базе называется рангом системы.

Упражнение 4.30. Докажите, что база — это наибольшая (по числу векторов) линейно независимая подсистема данной системы.

Упражнение 4.31. Докажите, что база — это наименьшая (по числу векторов) подсистема данной системы, эквивалентная всей системе.

4.7.Базис линейного пространства

Система векторов a1, , an линейного пространства V называется полной, если V L(a1, , an). Линейное пространство, в котором существует полная система, называется конечномерным. В противном случае пространство называется бесконечномерным.

Базисом пространства V называется полная линейно независимая система.

Утверждение 4.32. В любом ненулевом конечномерном пространстве V существует базис.

Доказательство. Пространство V конечномерное, поэтому V L(a1, , an) для некоторых a1, , an. В качестве базиса пространства возьмем базу системы a1, , an.

Утверждение 4.33. Для любого пространства число векторов в любом базисе одинаково.

Доказательство. Пусть a1, , an, b1, , bm — два базиса пространства V . Системы a1, , an, b1, , bm эквивалентны и линейно независимы, поэтому n m.

Число векторов в базисе конечномерного пространства V называется размерностью пространства V и обозначается dim V . Размерность нулевого пространства считается равной нулю.

Утверждение 4.34. Для того, чтобы линейно независимая система была базисом, необходимо и достаточно, чтобы любая система из большего числа векторов этого пространства была линейно зависимой.

82 Глава 4. Линейные пространства

Доказательство. Необходимость. Пусть система a1, , an является базисом. Система векторов b1, , bm выражается через линейно независимую систему a1, , an и если m n, то по теореме о замене b1, , bm линейно зависима.

Достаточность. Пусть b — произвольный вектор из V . Рассмотрим систему a1, , an, b. По условию она линейно зависима. Теперь из усиленного критерия линейной зависимости следует, что b L(a1, , an), т. е. система a1, , an — полная.

Замечание 4.35. Утверждение 4.34 позволяет дать следующее определение базиса, эквивалентное исходному: базис — это наибольшая (по мощности) линейно независимая система. Заметим, что такое определение не означает, что базис пространства определен единственным образом.

Утверждение 4.36. Для того, чтобы полная система a1, , an была базисом, необходимо и достаточно, чтобы либо n 1 и a1 o, либо любая система из меньшего числа векторов не была бы полной.

Доказательство. Необходимость. Пусть система b1, , bm полная, тогда линейно независимая система a1, , an выражается через b1, , bm, откуда из теоремы о замене m n.

Достаточность. Ни для какого j {1, , n} система a1, , aj 1, aj 1, , an не является базисом, поэтому aj / L(a1, , aj 1, aj 1, , an). Линей-

ная независимость системы векторов a1, , an следует теперь из критерия линейной независимости.

Замечание 4.37. Утверждение 4.36 позволяет дать следующее определение базиса, эквивалентное исходному: базис — это наименьшая (по мощности) полная система. Заметим, что такое определение не означает, что базис пространства определен единственным образом.

Утверждение 4.38. Пусть dim V n и система a1, , an — линейно независима, тогда она полна и, следовательно, является базисом.

Доказательство. Так как dim V n, то любая система из большего числа векторов вектора линейно независима. Поэтому a1, , an полная по утверждению 4.34.

4.7. Базис линейного пространства

83

Утверждение 4.39. Пусть dim V n и система a1, , an — полная, тогда она линейно независима и, следовательно, является базисом.

Доказательство. Так как dim V n, то любая система из меньшего числа векторов полна. Поэтому система a1, , an линейно независима по утверждению 4.36.

Размерность и базис арифметического пространства. Рассмотрим систему векторов арифметического пространства Fn:

1		0		0
0		1		0
e1 .	,	e2 .	,	, en .	, (4.2)
.		.		.
.		.		.
0		0		1

где j-ая компонента вектора ej равна 1, а все остальные компоненты вектора ej равны 0 (j 1, 2, , n). Покажем, что система e1, e2, , en образует базис пространства Fn и, следовательно, dim Fn n.

Действительно, система (4.2) линейно независима, так как, приравнивая все компоненты в левой и правой части равенства

1e1 2e2 nen o,

(4.3)

получаем 1 2 n 0, т. е. нулевая комбинация (4.3) — тривиальная.

Cистема (4.2) — полная, так как для произвольного вектора

1

2

a . Fn

.

.

n

имеем a 1e1 2e2 nen.

Систему (4.2) будем называть стандартным базисом арифметического n-мерного пространства.

84	Глава 4. Линейные пространства

Размерность и базис пространства геометрических векторов.

Утверждение 4.40.

1.dim V1 1. Система из одного вектора пространства V1 образует базис этого пространства тогда и только тогда, когда вектор ненулевой.

2.dim V2 2. Система из двух векторов пространства V2 образует базис этого пространства тогда и только тогда, когда векторы неколлинеарны.

3.dim V3 3. Система из трех векторов пространства V3 образует базис этого пространства тогда и только тогда, когда векторы некомпланарны.

Доказательство.

1.Утверждение очевидно.

2.Уже было показано, что любые два вектора пространства V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Покажем, что любые два неколлинеарных вектора a, b образуют полную систему

впространстве V2 и, следовательно, образуют базис этого пространства. Пусть c — произвольный вектор пространства V2. Как обычно, все векторы отложены из полюса O. Проведем через конец вектора c прямую, параллельную вектору b. Эта прямая пересечет прямую, на которой лежит вектор a в некоторой точке A. Затем проведем через конец вектора c прямую, параллельную вектору a. Эта прямая пересечет прямую, на которой лежит вектор b в некоторой точке B. Будем

иметь c OA OB, OA a, OB b для некоторых и , откуда откуда c a b. Итак, любой вектор пространства V2 может быть выражен в виде линейной комбинации векторов a, b, и, следовательно,

a, b — полная система.
3. Доказывается аналогично.

Размерность пространства многочленов. Покажем, что пространство F[x] не является конечномерным. Действительно, предположим, что f1 (x), f2 (x), , fn (x) — некоторая полная система в пространстве F[x], а m — максимум степеней многочленов из этой системы. Очевидно, что никакая их линейная комбинация не дает ни одного многочлена степени выше m. Таким образом, система f1 (x), f2 (x), , fn (x) полной не является.

4.8. Координаты векторов

85

Рассмотрим пространство многочленов степени не выше n. Очевидно, что система 1, x, x2, , xn образует базис этого пространства, называемый стандартным. Таким образом, пространство многочленов степени не выше n имеет конечную размерность, равную n 1.

4.8.Координаты векторов

Пусть e1, , en — базис пространства V над полем F. Тогда для произвольного вектора a из V найдутся такие числа 1, , n из F, что a 1e1 nen. Коэффициенты 1, , n разложения вектора по базису называются координатами вектора.

Утверждение 4.41. В произвольном базисе координаты вектора определены единственным образом.

Доказательство. Пусть e1, , en — базис пространства V . Предположим, что для вектора a нашлось два разложения по базису

a 1e1 nen 1e1 nen. Откуда получаем

( 1 1)e1 ( n n)en o.

Так как система e1, , en — линейно независимая, то все коэффициенты в полученнной линейной комбинации равны 0, откуда j j (j 1, , n).

Координаты удобно записывать в столбец, который мы будем называть координатным столбцом и обозначать [a]e. Таким образом, если a 1e1 nen, то

	1
[a]e	2
	. .
	.
	.
	n

Координатный столбец можно рассматривать как вектор арифметического пространства Fn. Имея в виду эту интерпретацию, получаем

86	Глава 4. Линейные пространства

Утверждение 4.42. Для произвольных векторов a, b из V и произвольного из F справедливо

[a b]e [a]e [b]e, [ a]e [a]e .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, при умножении на число умножаются на это число.

Доказательство. Пусть

a 1e1 nen, b 1e1 nen.

Тогда

a b ( 1 1)e1 ( n n)en,

т. е. [a b]e [a]e [b]e. Второе равенство доказывается аналогично.

4.9.Изоморфизм линейных пространств

Пусть пространства V и V заданы над одним и тем же полем F. Биекция : V V называется изоморфизмом, если для любых векторов a, b из V и любого из F справедливо

1.(a b) a b,

2.( a) ( a).

Замечание 4.43. Пусть dim V n. Из утверждения 4.42 следует, что отображение : V Fn, ставящее в соответствие вектору из V столбец его координат в некотором фиксированном базисе, является изоморфизмом.

Свойство 4.44. Отображение, обратное к изоморфизму, является изоморфизмом.

Доказательство. Отображение 1 : V V , обратное к изоморфизму : V V , является биекцией. Осталось показать выполнение

4.9. Изоморфизм линейных пространств

87

свойств 1, 2 для отображения 1. Пусть a , b — произвольные векторы из V , тогда 1a V и 1b V . Из определения изоморфизмаимеем

( 1a 1b ) 1a 1b ,

( 1a 1b ) a b .

Применяя к обеим частям последнего равенства отображение 1, по-

лучаем

1a 1b 1a 1b .

Равенство 1 ( a) ( 1a) доказывается аналогично.

Свойство 4.45. Образом нулевого вектора пространства V при изоморфизме является нулевой вектор пространства V , т. е.3o o.

Доказательство. Из определения изоморфизма

o (0a) 0 a o.

Свойство 4.46. При изоморфизме линейно зависимая система отображается в линейно зависимую систему.

Доказательство. Пусть система a1, , an линейно зависимая, тогда найдутся такие числа 1, , n, что

1a1 nan o,

(4.4)

причем j 0 для некоторого j {1, , n}. Применим отображение к обеим частям равенства (4.4). Из определения изоморфизма получаем

1 ( a1) n ( an) o.

Нами получена нетривиальная нулевая комбинация векторов a1, , an, значит векторы линейно зависимые.

Свойство 4.47. При изоморфизме линейно независимая система отображается в линейно независимую систему.

3Заметим, что в следующем равенстве o в левой части — вектор пространства V , тогда как o в правой части — вектор пространства V .

V .

88	Глава 4. Линейные пространства

Доказательство. Утверждение является следствием свойств 4.44, 4.46.

Свойство 4.48. При изоморфизме : V V базис пространства V отображается в базис пространства V .

Доказательство. По свойству 4.46 базис отображается в линейно независимую систему. При этом по свойству 4.47 любая линейно зависимая система отображается в линейно зависимую. Таким образом, базис отображается в наибольшую линейно независимую систему, т. е. в базис.

Пространства V и V называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм : V V . Если V и V изоморфны, то пишут

V V .

Пример 4.49. Пусть dim V n, тогда, как следует из предыдущего примера, V Fn.

Утверждение 4.50. Отношение изоморфности пространств является отношением эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность. Очевидно, что тождественное преобразование : V V , определяемое формулой a a является изоморфизмом. Таким образом, V V .

Симметричность. Если V V , то V V по свойству 1. Транзитивность. Докажем, что если V V и V V , то V V . Действительно, если и — изоморфизмы из V в V и из V в V , то произведение изоморфизмов , определяемой формулой a( a) есть изоморфизм V в V .

Теорема 4.51 (Критерий изоморфности пространств). Для того,

чтобы пространства V и V , заданные над одним и тем же полем F, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы dim V dim V .

Доказательство. Необходимость Необходимость следует из свойства 5.

Достаточность Так как V Fn и V Fn, то, в силу симметричности и транзитивности отношения эквивалентности, имеем V

4.10. Размерность подпространства

89

4.10.Размерность подпространства

Утверждение 4.52. Любое подпространство V1 конечномерного линейного пространства V является конечномерным.

Доказательство. Если V1 {o}, то утверждение доказано. Пусть a1

— некоторый ненулевой вектор из V1. Система, состоящая из одного вектора a1, линейно независима. Поэтому, если V1 L(a1), то система образует базис пространства V1. В противном случае в V1 найдется вектор a2 / L(a1). По усиленному критерию линейной зависимости система a1, a2 — независимая. Поэтому, если V1 L(a1, a2), то система образует базис пространства V1. В противном случае в V1 найдется вектор a3 / L(a1, a2) и т. д. Описанный процесс оборвется по крайней мере через n шагов, где n dim V , так как любая система из n 1 вектора линейно зависима.

Утверждение 4.53. Пусть V1, V2 — конечномерные подпространства, причем V1 V2, тогда dim V1 dim V2.

Доказательство. Пусть a1, , al , b1, , bm — базисы подпространств V1 и V2 соответственно. Так как V1 V2, то первая система линейно выражается через вторую и поэтому по лемме о замене l m.

Утверждение 4.54. Пусть V1, V2 — конечномерные подпространства, причем V1 V2 и dim V1 dim V2, тогда V1 V2.

Доказательство. Базис a1, , al подпространства V1 является линейно независимой системой векторов из V2. Так как l dim V1 dim V2, то a1, , al является базисом подпространства V2 и, следовательно, V1 L(a1, , al) V2.

4.11.Сумма и пересечение подпространств

Суммой подпространств V1 и V2 пространства V называется множество

V1 V2 {x y z : y V1, z V2} .

Пересечение подпространств понимается в обычном смысле:

V1 V2 {x : x V1, x V2} .

90	Глава 4. Линейные пространства

Утверждение 4.55. Сумма подпространств одного и того же пространства является подпространством.

Доказательство. Так как o V1, o V2, то o o V1 V2 и

V1 V2 . Докажем замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на числа. Пусть x V1 V2 и x V1 V2, тогда найдутся такие векторы y, y из V1 и z, z из V2, что x y z, x y z . Так как y y V1 и z z V2, то x x (y y ) (z z ) V1 V2. Так как y V1 и z V2, то x y z V1 V2.

Утверждение 4.56. Пересечение подпространств одного и того же пространства является подпространством.

Доказательство. Так как o V1, o V2, то o V1 V2 и V1 V2 . Докажем замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на числа. Пусть x V1 V2 и x V1 V2. Так как x x V1

и x x V2, то x x V1 V2. Так как x V1	и x V2, то
x V1 V2.

Лемма 4.57. Любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса конечномерного пространства.

Доказательство. Утверждение доказывается аналогично доказательству утверждения 4.52.

Теорема 4.58 (Размерность суммы подпространств). Если V1, V2

— конечномерные подпространства пространства V , то dim(V1 V2) dim V1 dim V2 dim(V1 V2)

(формула Грассмана).

Доказательство. Пусть a1, , ak — базис подпространства V1 V2. Векторами b1, , bl дополним систему a1, , ak до базиса пространства V1. Векторами c1, , cm дополним систему a1, , am до базиса пространства V2. Для доказательства теоремы покажем, что система

a1, , ak, b1, , bl , c1, , cm

образует базис пространства V1 V2.