zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre
.pdf
10.5. Эрмитовы (самосопряженные) и симметрические преобразования221
1. блоки первого порядка вида
(1);
2.блоки второго порядка вида
cos |
sin |
. |
sin |
cos |
Доказательство. Теорема доказывается аналогично доказательству критерия нормального преобразования евклидова пространства.
10.5.Эрмитовы (самосопряженные) и симметрические преобразования
Преобразование унитарного (соответственно евклидова) пространства называется эрмитовым самосопряженным (соответственно симметрическим), если . Легко видеть, что эрмитово (симметрическое) преобразование является нормальным.
Теорема 10.18 (Свойства собственных чисел эрмитового преобразования). Все собственные значения эрмитового преобразования вещественны.
Доказательство. Для собственного вектора x, такого, что x x, имеем
(x, x) ( x, x) (x, x) (x, x),
|
|
|
|
откуда R. |
|
||
Теорема 10.19 (Критерий эрмитового преобразования). Если все собственные числа нормального преобразования унитарного пространства вещественны, то эрмитово.
Доказательство. Так как — нормальное, то существует ортонормированный базис e1, , en, для которого
[ ]e diag( 1, , n). |
|
Так как по условию i R, то [ ]e [ ]e, т. е. . |
|
222Глава 10. Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств
Теорема 10.20 (Критерий симметрического преобразования). Преобразование евклидова пространства тогда и только тогда является симметрическим, когда для него существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказательство. Ну, вообще-то, очевидно. |
|
Эрмитово (симметрическое) преобразование называется
•положительным, или положительно определенным, если (x, x)
0 для любого ненулевого вектора x,
•неотрицательным, или положительно полуопределенным, если (x, x) 0 для любого вектора x,
•отрицательным, или отрицательно определенным, если (x, x)
0 для любого ненулевого вектора x,
•неположительным, или отрицательно полуопределенным, если (x, x) 0 для любого вектора x.
Теорема 10.21 (Критерий положительного (неотрицательного) преобразования). Эрмитово или симметрическое преобразование положительно определено (соответственно полуопределено) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны).
Доказательство. Пусть e1, , en — ортонормированный базис из собственных векторов эрмитова или симметрического преобразования
, причем ei i ei. Пусть [x]e (x1, , xn) , [y]e (y1, , yn) , тогда (x, y) x1y1 xnyn. и (x, x) 1 x1 2
и следует утверждение теоремы.
10.6.Косоэрмитово преобразование
Преобразование унитарного пространства называется косоэрмитовым, если .
Утверждение 10.22. Преобразование унитарного пространства является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда i для некоторого эрмитова преобразования .
10.7. Разложения преобразований |
223 |
Доказательство. Необходимость Пусть i , где — косоэрмитово преобразование, тогда
( ) ( i ) i i , |
|
таким образом, — эрмитово. Легко видеть, что i . |
|
Достаточность Достаточность проверяется непосредственно. |
|
10.7.Разложения преобразований
Произвольное комплексное число можно представить либо в алгебраической форме i , либо в тригонометрической r(cos i sin ). Следующие две теоремы о разложении пробразований являются аналогами этих представлений.
Теорема 10.23 (Разложение преобразования в прямую сумму эрмитова и косоэрмитова преобразований). Для любого преобразования унитарного пространства существуют единственные эрмитовы преобразования 1, 2, такие, что 1 i 2.
Доказательство. Существование Пусть
1 |
( ), |
1 |
( ). |
(10.9) |
||
1 |
|
2 |
|
|||
2 |
2i |
|||||
Легко проверить, что данные преобразования эрмитовы и 1 i 2. Единственность Пусть 1 i 2 и преобразования 1, 2 эрмитовы. Тогда 1 i 2, откуда следуют формулы (10.9). По этим формулам 1, 2 определяются однозначно.
Теорема 10.24 (Полярное разложении). Для любого преобразования унитарного (соответственно евклидова) пространства существуют неотрицательное самосопряженное (соответственно симметрическое) преобразование и унитарное (соответственно ортогональное) преобразование , такие, что . Если — невырождено, то преобразования , определяются единственным образом.
224Глава 10. Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств
Доказательство. Во-первых, исследуем преобразование . Докажем, что оно самосопряженное (симметрическое) и неотрицательное. Действительно,
( ) ( ) .
Далее,
(x, x) ( x, x) 0.
для любого вектора x.
Во-вторых, докажем что если — невырождено, то преобразования , определяются единственным образом. Пусть , ,0, 1. Тогда ( ) 2, откуда положительное самосопряженное преобразование определяется единственным образом. Теперь 1 .
Наконец, покажем, как построить преобразования и 2. Пусть e1, , en — ортонормированный базис из собственных векторов преобразования 0. Имеем
|
ei ki2ei. |
|
|
Не нарушая общности, будем считать, что |
|
||
ki 0 (i 1, , m), |
ki 0 (i m 1, , n). |
|
|
Пусть3 |
|
|
|
ei kiei |
(i 1, , n). |
( ) |
|
Положим |
|
|
|
wi |
ei |
(i 1, , m) |
( ) |
ki |
|||
и докажем, что векторы w1, , wm образуют ортонормированный базис пространства W L(w1, , wm). Действительно,
kikj (wi , wj) ( ei , ej) (ei , ej) k2j (ei , ej).
2Из предыдущего абзаца следует способ нахождения и 1 по произвольному невырожденному преобразованию . Приведенный далее способ уже не требует невырожденности .
3Таким образом, как и для невырожденного преобразования имеем . Далее символами отмечены основные формулы, используемые в алгоритме нахождения полярного разложения.
10.7. Разложения преобразований |
225 |
Пусть |
|
wi ei (i 1, , n). |
( ) |
Легко видеть, что — неотрицательное самосопряженное (симметри- |
|
ческое), — унитарное (ортогональное). Проверим, что . Имеем |
|
Для i 1, , m: |
wi ei kiei |
и wi ei/ki kiei ; |
|
|
|
||||
для i |
|
m |
|
1, , n: |
wi ei 0 и |
|
) |
|
0. |
|
|
( wi , wi) (wi , !w"i |
|
||||||
Im W
Замечание 10.25. Применим доказанную теорему для преобразования, тогда , откуда , причем — унитарное (ортогональное), — самосопряженное (симметрическое) неотрицательное преобразование.
Глава 11
Кривые и поверхности второго порядка
см. пособие В.Н.Шевченко «Кривые и поверхности второго порядка»
Глава 12
Матрицы над евклидовым кольцом
12.1.Нормальная диагональная форма
В данной главе везде предполагается, что K — некоторое евклидово кольцо. Рассмотрим кольцо Km n матриц размера m n с элементами из K. Везде далее мы будем обращаться к двум важным примерам таких колец:
1.Кольцо F[ ]m n, где F — некоторое поле. Элементы этого кольца называются многочленными матрицами, или -матрицами
над полем F.
2.Кольцо Zm n целочисленных матриц.
Элементарными преобразованиями таких матриц назовем преобразования следующих типов:
1.перестановка i-й и j-й строк;
2.умножение i-й строки на обратимый элемент из K (т. е. для кольца
-матриц возможно умножение на ненулевой скаляр, для кольца целочисленных матриц — умножение на 1);
3.прибавление к i-й строке j-й строки, умноженной на произвольный элемент из K,
ианалогичные преобразования столбцов.
Будем говорить, что матрица A Km n эквивалентна матрице B Km n и писать A B, если от A к B можно перейти при помощи цепочки элементарных преобразований. Легко видеть, что отношение
228 |
Глава 12. Матрицы над евклидовым кольцом |
эквивалентности обладает тремя основными свойствами: рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Отсюда следует, что множество всех матриц из Km n разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Возникает вопрос о канонической матрице, характеризующей данный класс.
Канонической или нормальной диагональной матрицей называ-
ется матрица .diag(d1, , dr, dr 1, , dp) Km n, где p min {m, n}, в которой dj .. dj 1 (j 2, 3, , r), dj 0 (j r 1, , p).
Теорема 12.1. Для любой матрицы A Km n существует эквивалентная ей нормальная диагональная матрица D, называемая
канонической или нормальной диагональной формой матрицы A. Диагональные элементы нормальной диагональной формы, называемые инвариантными множителями, определяются единственным образом с точностью до умножения на обратимые элементы из K.
Пример 12.2. Найдем нормальную диагональную форму -матрицы
|
1 |
2 3 2 2 1 |
3 2 3 |
1 |
|
|
2 5 |
2 2 8 3 |
2 2 |
1 |
|
2 2 5 1 |
2 3 8 2 4 |
2 2 2 |
2 |
||
|
1 |
2 3 2 5 4 3 4 5 2 2 |
|||
над полем комплексных чисел (или любым другим числовым полем). Из третьей строки вычтем вторую, умноженную на , и полученную строку переставим с первой:
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
2 5 |
2 2 8 3 |
2 2 |
1 |
. |
1 |
2 3 2 2 1 |
3 2 3 |
1 |
||
1 |
2 3 2 5 4 3 4 5 2 2 |
|
|||
Из второй, третьей и четвертой строки вычитаем первую, умноженную на 2 5, 1 и 1 соответственно. Далее полученный первый столбец, умноженный на , вычитаем из четвертого столбца:
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
3 3 |
2 2 |
1 |
. |
0 |
2 3 3 1 |
3 2 3 |
1 |
|
0 |
2 3 6 4 3 4 5 2 2 |
|
||
Переставляем второй и четвертый столбцы. К третьей строке прибавляем вторую. Из четвертой вычитаем вторую, умноженную на 2. После этого к третьему столбцу прибавими второй, умноженный на 2, и из четвертого вычтем второй, умноженный на 3:
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
. |
0 |
0 |
3 1 |
2 3 2 |
|
0 |
0 |
3 1 2 3 2 |
|
|
12.1. Нормальная диагональная форма |
229 |
К четвертой строке прибавляем третью. Далее из четвертого столбца вычитаем третий, умноженный на 2:
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
. |
0 |
0 |
3 1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Это нормальная диагональная матрица. |
|
|
|
|
Пример 12.3. Найдем нормальную диагональную форму целочисленной матрицы
84 |
24 |
72 |
72 |
72 |
|
28 |
8 |
60 |
60 |
76 . |
|
488 |
224 |
240 |
240 |
164 |
|
Из первого столбца вычтем второй, умноженный на 2. Из четвертого столбца вычтем третий. К пятому столбцу прибавим третий. Получим:
36 |
24 |
72 |
0 |
0 |
|
44 |
8 |
60 |
0 |
16 . |
|
40 |
224 |
240 |
0 |
76 |
|
Из первой и третьей строк вычтем вторую, умноженную на 3 и 28 соответственно. Из первого, третьего и пятого столбцов вычтем второй, умноженный на 5, 7 и 2 соответ-
ственно. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
168 |
0 |
252 |
0 |
48 |
|
|
4 |
8 |
4 |
0 |
0 . |
|
|
1272 |
0 |
1920 |
0 |
372 |
|
К первой и третьей строкам прибавим вторую, умноженную на 63 и 480 соответственно. Прибавим к первому столбцу третий. Из второго отнимим третий, умноженный на 2. После этого надлежащим образом переставим строки и столбцы:
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
504 |
84 |
48 |
0 . |
|
0 |
3840 |
648 |
372 |
0 |
|
Из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 7. Из второго столбца вычтем четвертый, умноженный на 10. К третьему столбцу прибавим четвертый, умноженный на 2.
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
24 |
12 |
48 |
0 |
. |
|
0 |
48 |
12 |
36 |
0 |
|
Из третьей строки вычтем вторую. Из второго и четвертого столбцов вычтем третий, умноженный на 2 и 4 соответственно. Получим:
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
12 |
0 |
0 . |
|
0 |
72 |
0 |
12 |
0 |
|
230 Глава 12. Матрицы над евклидовым кольцом
Вычтем из второго столбца четвертый, умноженный на 6. Далее умножим третью строку (или четвертый столбец) на 1 и после надлежащей перестановки столбцов получим нормальную диагональную матрицу:
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
12 |
0 |
0 |
0 . |
|
0 |
0 |
12 |
0 |
0 |
|
На матрицы из Km n можно распространить понятие минора и ранга. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Наибольший общий делитель всех миноров k-го порядка матрицы A Km n обозначим k (k 1, 2, , min {m, n}).
Утверждение 12.4. При элементарных преобразованиях матрицы величины k не изменяются.
Утверждение 12.5. Для инвариантных множителей dj матрицы A справедливы формулы:
|
1 |
при j 1, |
|
dj |
j |
при j 2, , r, |
|
j 1 |
|||
|
|
0при j r 1, , min {m, n},
где r — ранг матрицы A.
Пример 12.6. |
|
4 |
3 |
3 |
|
0 |
2 |
0 |
. |
63 5
Так как матрица содержит ненулевые константы, то 1 1. Все миноры второго порядка, содержащие вторую строку делятся на 2. Вычислим остальные миноры второго порядка:
4 |
3 |
|
|
|
3 6, |
|
4 |
3 |
|
2 2 ( 1) ( 2), |
6 |
3 |
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
3 3
3 5 3 6.
Получаем 2 2. Разлагая определитель исходной матрицы по второй строке, находим 3 ( 1) ( 2)2. Таким образом, инвариантные множители равны
d1 1 1, d2 2 |
2, |
d3 3 |
( 1) ( 2). |
|
|
1 |
|
2 |
|
Нормальная диагональная форма имеет вид |
|
|
||
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
2 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
( 1) ( 2) |
||