zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre

p( )0 0 для произвольного

7.9. Аннулирующий многочлен

191

либо степень f1 ( ) f2 ( ) меньше степени многочленов f1 ( ), f1 ( ). Последнее однако невозможно, так как f1 ( ), f2 ( ) – минимальные, следовательно, f1 ( ) f2 ( ) 0, и поэтому f1 ( ) f2 ( ).

Утверждение 7.30. Пусть f( ) – минимальный многочлен преобразования относительно подпространства W . Тогда множество всех многочленов, аннулирующих на W есть множество

{f( ) p( ) : p( ) F[ ]}.

Доказательство. Так как p( ) f( )x x W , то f( ) p( ) аннулирующий.

Покажем, что других аннулирующих многочленов, кроме многочленов вида f( ) p( ), нет. Для этого поделим произвольный аннулирующий

многочлен g( ) с остатком на f( ):
g( ) f( ) p( ) r( ),	(7.18)

причем либо r( ) 0, либо deg r( ) deg f( ). Так как r( )x g( )x p( ) f( )x 0 для произвольного x W , то r( ) – также аннулирующий, поэтому r( ) 0. Теперь из (7.18) получаем g( ) f( ) p( ).

Утверждение 7.31. Пусть многочлены f1 ( ), f2 ( ) являются минимальными аннулирующими многочленами для преобразования на подпространствах W1, W2 соответственно, причем W1 W2.

.

.

Тогда f2.f1.

Доказательство. Так как W1 W2, то f2 ( ) аннулирует на W1. Доказываемое теперь следует из предыдущего утверждения.

Утверждение 7.32. Пусть многочлены f1 ( ), f2 ( ) являются минимальными аннулирующими многочленами для преобразования

на подпространствах W1, W2 соответственно. Тогда НОК(f1 ( ), f2 ( )) является минимальным аннулирующим многочленом для преобразования на подпространстве W1 W2.

Доказательство. Сначала докажем, что f( ) НОК(f1 ( ), f2 ( )) аннулирует преобразование на подпространстве W1 W2. Пусть

f( ) p1 ( ) f1 ( ) p2 ( ) f2 ( ).

192 Глава 7. Линейные отображения и преобразования

Для произвольного вектора x x1 x2 W , где x1 W1, x2 W2,

имеем f( )x f( ) (x1 x2) f( )x1 f( )x2 p1 ( ) f1 ( )x1 p2 ( ) f2 ( )x2 0. Итак, многочлен f( ) – аннулирующий на W1 W2.

Докажем теперь, что f( ) – минимальный многочлен, т. е. из всех аннулирующих многочленов многочлен f( ) имеет минимальную степень. Так как W1 W1 W2 и W2 W1 W2, то по предыдущему утверждению произвольный аннулирующий на подпространстве W1 W2 многочлен должен делиться без остатка как на многочлен f1 ( ), так и на многочлен f2 ( ). Из всех многочленов, удовлетворяющих этим свойствам, минимальную степень имеет f( ). Следовательно, этот многочлен минимальный аннулирующий.

7.9.1.Метод Крылова построения минимального многочлена

В данном разделе мы опишем способ нахождения минимального многочлена, аннулирующего преобразование на всем пространстве

V .

Пусть e1, e2, , en – базис пространства V . Для произвольного i {1, 2, , n} в силу конечномерности пространства найдется натуральное s, такое, что система

ei, ei, 2ei, , s 1ei

линейно независима, а сиcтема

ei, ei, 2ei, , sei

линейно зависима. Пусть

0ei 1 ei s 1 s 1ei s ei 0

для некоторых j (j 0, 1, , s 1). Легко видеть, что многочлен fi ( ) 0 1 s 1 s 1 s

является минимальным для L(ei).

По утверждению 4 минимальным многочленом, аннулирующим на всем пространстве V , является НОК(f1 ( ), , fn ( )).

7.9. Аннулирующий многочлен

193

Пример 7.33. Построить минимальный аннулирующий многочлен преобразования , заданного в некотором базисе матрицей

0	1	0
[ ] 4	4	0 .
2	1	2

Для базиса e1, e2, e3, в котором задана матрица преобразования, имеем

[e1]

[e2]

[e3]

1			0		4
0		,	[ e1] 4	,	[ 2e1] 16	;
0			2		8
0			1		4
1		,	[ e2] 4	,	[ 2e2] 12	;
0			1		4
0			0
0		,	[ e3] 0 .
1			2

В каждой строке приведенной таблицы векторы линейно зависимые. Найдем их нулевые нетривиальные комбинации:

4e1 4 e1 2e1 0	f1 ( ) 4 4 2 ( 2)2;
4e2 4 e2 2e2 0		f2 ( ) 4 4 2 ( 2)2;
4e3 4 e3 0		f3 ( ) 4 4 2 2.

Минимальный многочлен имеет вид f( ) НОК(f1 ( ), f2 ( ), f3 ( )) ( 2). Как и в примере 7.28 в данном случае характеристический многочлен ( ) ( 2)3 является аннулирующим. В следующей теореме утверждается, что это справедливо для любого преобразования.

Теорема 7.34 (Гамильтон–Кэли). Любое линейное преобразование является корнем своего характеристического многочлена

Доказательство. Мы покажем, что произвольная матрица A является корнем своего характеристического многочлена A ( ), т. е. A (A) 0.

Рассмотрим квадратную матрицу ( E A) ( ij), в которой ij ( 1)i jMA ij . Имеем

( E A) ( E A) det( E A)E.

В полученное равенство подставим	A, тогда в его правой части
получаем A (A), а в левой 0.

Замечание 7.35. Доказанная теорема равносильна утверждению, что характеристический многочлен преобразования является аннулирующим многочленом того же преобразования во всем пространстве.

194	Глава 7. Линейные отображения и преобразования

Замечание 7.36. Приведенное доказательство не основывалось на результатах данного раздела и является другим доказательством существования аннулирующего многочлена.

Теорема 7.37 (Теорема о корнях аннулирующего многочлена). Пусть многочлен

( ) ( 1)k1 ( s)ks

( i j при i j)

является характеристическим многочленом преобразования . Тогда минимальным многочленом, аннулирующим на всем пространстве, является многочлен

( ) ( 1)l1 ( s)ls ,

(7.19)

где l1, , ls – некоторые натуральные числа, такие, что 1 li ki (i 1, 2, , s).

Доказательство. По теореме Гамильтона-Кэли характеристический многочлен является аннулирующим. Минимальный многочлен является его делителем и, поэтому, имеет вид (7.19), причем li ki (i 1, 2, , s).

Теперь докажем, что li 1. Для этого рассмотрим собственный вектор x. Имеем x ix. Легко видеть, что многочлен fi ( ) i является минимальным аннулирующим преобразование на подпространстве L(x). Необходимое неравенство следует теперь из утверждения 4.

Замечание 7.38. Из доказанной теоремы следует, что множество корней минимального многочлена без учета их кратностей есть в точности множество характеристических чисел. Кратности, с которыми они встречаются в минимальном многочлене не превосходят алгебраических кратностей характеристических чисел.

7.10. Жорданова форма линейного преобразования

195

7.10.Канонический вид преобразования комплексного линейного пространства (Жорданова форма линейного преобразования)

7.10.1.Определения

Жордановой клеткой называется квадратная матрица порядка n, следующего вида:

	0	1	0			0	0
	0	0	1			0	0
Jn ( 0)	0	0	0	..	.	0	0	.
	. . . . . . . . . . . ... ...
	0	0	0			0	1
	0	0	0			0	0

Жордановой матрицей J называется блочно-диагональная матрица, составленная из жордановых клеток:

J diag(Jk1 ( 1), Jk2 ( 1), , Jks ( 1)).

Базис пространства V называется Жордановым, если в этом базисе матрица преобразования является Жордановой (имеет Жорданову форму). В данном случае базис также называют каноническим базисом преобразования, а саму матрицу преобразования в этом базисе –

каноническим видом, или Жордановой формой преобразования.

7.10.2.Цель

Теорема 7.39 (Жордан). Для любого преобразования комплексного линейного n-мерного пространства существует Жорданов базис. Жорданова форма определена единственным с точностью до перестановки жордановых клеток образом.

Теорема 7.40 (Жордан (матричная формулировка)). Для любой матрицы A Cn n найдется такая невырожденная матрица Q,

196	Глава 7. Линейные отображения и преобразования

что J Q 1AQ есть жорданова матрица. Матрица J определяется единственным образом с точностью до перестановки жордановых клеток.

Следствие 7.41 (Критерий подобия матриц на полем C). Для того,

чтобы матрицы A и B из A Cn n были подобны над полем C необходимо и достаточно совпадение их жордановых форм.

7.10.3.Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Рассмотрим минимальный многочлен

f( ) ( 1)k1 ( 2)k2 ( s)ks ,

аннулирующий преобразование на всем пространстве V . Множество Pi Ker( i)ki называется корневым подпростран-

ством, принадлежащим собственному числу (корню) i (i 1, 2, , s).

Теорема 7.42. Пространство V есть прямая сумма корневых под-

пространств Pi:	.			.	.
	V P1 P2 Ps.
Доказательство. Легко видеть, что многочлены
		f(
fi ( )			,		(i 1, 2, , s)
		( i)ki

взаимно просты, поэтому найдутся такие u1 ( ), u2 ( ), , us ( ), что

s

1	fi ( )ui ( ),
i	1

откуда

s

fi ( )ui ( ),

i 1

следовательно, для любого x V

s

x fi ( )ui ( )x .

i 1 x!i "

7.10. Жорданова форма линейного преобразования		197
Обозначим xi fi ( )ui ( )x, тогда
s
x	xi.	(7.20)
i	1

Докажем, что формула (.7.20) .задает разложение произвольного вектора x по прямой сумме P1 Ps.

Сперва покажем, что xi Pi. Действительно,

( i )ki xi ( i )ki fi ( ) ui ( )x 0.

f( )! 0 "

Теперь докажем, что рассматриваемая сумма прямая. Для этого достаточно установить единственность разложения по пространствам Pi (i 1, 2, , s) для нулевого вектора. Пусть

s

0	xj, где xj Pj	(7.21).
j	1

Применим к обеим частям равенства (7.21) преобразование fi ( ), тогда

s

0 fi ( )xj fi ( )xi ,

j 1

последнее равенство справедливо в силу

fi ( )xj ( ( )knu xj 0.

1

i

Так как многочлены fi ( ) и ( i)ki взаимно простые, то существуют такие u( ), v( ), что

1 u( ) fi ( ) v( ) ( i)ki ,

поэтому

xi u( ) fi ( )xi v( ) ( i )ki xi 0.

0! " 0, т.к.!xi Pi "

Итак, компонента разложения xi 0 (i 1, 2 , s) определяется однозначно, поэтому рассматриваемая сумма прямая.

198	Глава 7. Линейные отображения и преобразования

Замечание 7.43. Вместо f( ) в теореме можно рассматривать любой аннулирующий многочлен преобразования . Формулировка теоремы и доказательство при этом никак не изменятся.

Замечание 7.44. Корневые пространства Pi (i 1, 2, , s) инвариантны относительно преобразования .

Замечание 7.45. Сужение преобразования на подпространство Pi (индуцированное преобразование) имеет одно собственное значение i.

7.10.4.Построение Жорданова базиса

В силу замечаний 2, 3 предыдущего пункта мы можем на время ограничиться рассмотрением линейного преобразования пространства V с одним собственным числом 0. В этом случае минимальный многочлен имеет вид f( ) ( 0)k. Обозначим 0 , тогда

k 0.

(7.22)

Назовем высотой вектора x V такое h 0, что h 1x 0, ноhx 0. В нашем случае высота произвольного вектора не превосходит k. Существует единственный вектор высоты 0 — нулевой вектор. Векторы высоты 1 это в точности собственные векторы преобразования.

Обозначим Lh Ker h. Иными словами, Lh — это множество векторов высоты h. Имеем

{0} L0 L!"1 Lk Lk 1 V.

собственное

подпространство

Следующая лемма показывает, что Lh Lh 1 при h k, и поэтому {0} L0 L1 Lk Lk 1 V.

Лемма 7.46. Если Lh Lh 1, то Lh Ll для любого l h.

Доказательство. Воспользуемся методом доказательства от противного. Пусть

Lh Lh 1 Lh 2,

7.10. Жорданова форма линейного преобразования

199

тогда найдется такой x V , что

x / Lh Lh 1, x Lh 2.

Используя определение пространств Lh 2 и Lh 1, соответственно получаем

h 2x 0		h 1 x 0		x Lh 1,
h 1x 0		h x 0		x / Lh.

Итак, x Lh 1, однако x / Lh, что невозможно, так как Lh

Lh 1.

Опишем алгоритм построения Жорданова базиса.

•на предварительном шаге необходимо построить базисы пространств

L1, L2, Lk;

•далее найти такую линейно независимую систему a11, , a1t1 , для которой справедливо соотношение

.
Lk Lk 1 L(a11, , a1t1);	(7.23)

•для каждого h 2, 3, , k необходимо найти линейно независимую систему ah1, , ahth (возможно, th 0). такую, что

Lk h 1 Lk h

.

L( h 1a11, , h 1a1t1 , , ah 1,1, , ah 1,th 1 , ah1, , ahth).

(7.24)

Необходимые соотношения еще раз приведены в таблице 7.1									В на-
стоящем пункте мы докажем, что построенная система векторов
a11		a1t1
a11		a1t1	a21		a2t2				(7.25)
.		.	.		.
.		.	.		.
.		.	.		.
k 1a	k 1a		k 2a	k 2a		a	k1	a
11		1t1	21		2t2			ktk

образует Жорданов базис пространства V .

Сперва докажем возможность построения системы (7.25).

200

Глава 7. Линейные отображения и преобразования

Таблица 7.1. Схема построения Жорданова базиса

L

L

.

,

, a

),

k

L(a

11

1t1

k

1 .

L

k

1

L

L( a

11

, , a

1t1

,

a

21

,

, a

2t2

),

k

2 .

Lk 2 Lk 3 L( 2a11, , 2a1t1 , a21, , a2t2 , a31, , a3t3),

.

.

.

.

h 2a1t1 , ,

Lk h 2

Lk h 1

L( h 2a11, ,

ah 1,1,

, ah 1,th 1),

.

L

k

1

L

k

L( h 1a

11

, ,

h 1a

1t1

, , a

1,1

, , a

1,th 1

, a

h1

, , a

hth

),

.

h

h

h

h

.

.

.

L

1

L

0

L( k 1a

11

, ,

k 1a

1t1

, , a

, , a

1,tk

, a

k1

, , a

ktk

).

k

1,1

k

Лемма 7.47. Системы векторов

ah1, , ahth (h 1, 2, , k),

удовлетворяющие условиям (7.23–7.24), существуют.

Доказательство. Лемма доказывается индукцией по h.

Основание индукции h 1 Система a11, a1t1 является дополнением базиса пространства Lk 1 до базиса пространства Lk. Так как Lk 1 Lk, то такая система существует.

Индуктивный переход h 1 h Пусть u1, , up — базис подпространства Lk h, а v1, , vr — базис подпространства Lk h 1. Обозначим векторы

h 2a11, , h 2a1t1 , , ah 1,1, , ah 1,th 1

через w1, , wq соответственно. По предположению индукции, векторы

v1, , vr, w1, , wq

составляют базис подпространства Lk h 2. Итак, имеем

.

Lk h 2 Lk h 1 L(w1, , wq),

Lk h 1 L(v1, , vr), Lk h L(u1, , up).