2.2. Характеристики положения случайной величины

В общем случае различают 2 вида средних величин:

 степенные средние;

 структурные средние.

Степенные средние могут быть вычислены по следующей общей формуле:

, (2.5)

где m - показатель степени, x_i - текущее значение (вариант) осредняемого признака. В зависимости от величины m различают следующие виды степенных средних:

1) если m = -1, то имеем среднюю гармоническую (x_гар.)

2) если m = 0, то имеем среднюю геометрическую (x_геом.)

3) если m = 1 то имеем среднюю арифметическую (x_ар.)

4) если m = 2, то имеем среднюю квадратическую (x_кв.)

5) если m = 3, то имеем среднюю кубическую (x_куб.).

Из формулы (2.5) следует, что при использовании одних и тех же исходных данных, чем больше показатель степени m, тем больше значение средней величины, т.е.

x_гар  x_геом  x_ар  x_кв  x_куб. (2.6)

Это свойство называется правилом мажорантности средних. Естественно, что из указанных средних наибольшее распространение в статистике получила арифметическая средняя (выборочная средняя) Она применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Взвешенной выборочной средней дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений (вариант) на их частоты (веса), т. е.

x = (x₁f₁ + х₂f₂ + ... + х_nf_n)/(f₁ + ^… + f_n) = x_if_i / f_i, (2.7)

где f_i,..., f_n – частоты. Если частоты случайной величины одинаковы (f₁ = f₂ = ... = f_n), что соответствует, например, проведению измерений в одинаковых условиях, то получаем простую выборочную среднюю, равную сумме отдельных значений выборки (вариант), деленной на общее число наблюде­ний, т.е.

x = (х₁ + х₂ + ^…. + х_n)/n = n^-1x_i. (2.8)

Среднее арифметическое значение характеризует центр тяжести (распределения) числового ряда.

Свойства выборочной средней:

Свойство 1. Постоянный множитель а может быть вынесен за знак средней .

Свойство 2. Средняя сумма равна сумме средних .

Свойство 3. Сумма отклонений всех наблюденных данных от их средней равна нулю:

.

Свойство 4. Сумма квадратов отклонений членов ряда от центра их тяжести достигает минимума по сравнению с аналогичной суммой, вычисленной относительно любого числа а х, т. е.

.

Свойство 5. Среднее арифметическое ряда, полученного путем объединения нескольких однородных статистических групп, образуется как среднее взвешенное значение частных средних, включенных в расчет с весами, равными объемам соединяемых совокупностей:

.

Все перечисленные свойства среднего арифметического значения широко используются в выводах математической статистики и при решении различного рода практических задач.

Например, приведенное к длительному периоду значение средней арифметической по ряду многолетних наблюдений той или иной гидрометеорологической характеристики, называется нормой. Для вычисления норм по рекомендации Всемирной Метеорологической Организации необходимо, чтобы длина выборки составляла 30–40 лет.

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К структурным средним относятся мода и медиана.

Медианой называется такое значение, которое занимает среднее положение в ранжированном (вариационном) ряду. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то при нечетном числе членов ряда (n = 2m + 1) медиана определится как Me = x_m+1. При четном числе членов ряда (n = 2m) за медиану условно принимается среднее значение между центральными значениями величин ранжированного ряда, т. е.

. (2.9)

Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, делится пополам (рис. 2.1). Сказанное означает, что справедливо следующее равенство р(Х < Ме) = р(Х > Ме) = 0,5.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая:

| x_i  Me| = min.

Модой называется наиболее часто встречающаяся в данном статистическом ряду величина. Геометрически мода представляет собой наибольшую ординату кривой плотности вероятности в случае одновершинного распределения (рис. 2.1). Поэтому одновершинное распределение называют одномодальным. В тех случаях, когда распределение имеет несколько вершин, его называют многомодальным или полимодальным.

Для не очень асимметричных и одновершинных распределений мода может быть рассчитана по приближенному соотношению К. Пирсона:

. (2.10)