Заметим, что кроме данного выражения, интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины х может быть получена исходя из следующих формул

s(1 – q) < _х < s(1+ q) (при q < 1)

0 < _х < s(1+ q) (при q > 1)

Для определения величины q может быть использована специальная таблица, входными параметрами которой являются надежность  и длина ряда n.

Пример 2.2. Рассмотрим построение доверительных интервалов для средних годовых значений солености поверхностного слоя воды на одной из прибрежных станций Баренцева моря, если известно, что среднее арифметическое соленостиS=34,2 ‰, среднее квадратическое отклонение s=21,8 ‰, период наблюдений n=28 лет. В предположении нормального распределения исходных данных при построении доверительного интервала для математического ожидания солености воспользуемся формулой (2.17). Из таблицы распределения Стьюдента принимая  =0,05 и =n1=27 находим t_=2,05. После этого определяем нижнюю и верхнюю доверительные границы

x  t_[s/(n1)^1/2] = 34,2 – 2.0521,8/(27)^1/2 = 25,6 ‰

x + t_[s/(n1)^1/2] = 34,2 + 2,0521,8/(27)^1/2 = 42,8 ‰.

Итак, получаем 25,6 < m_S < 42,8 ‰. Нетрудно видеть, что математическое ожидание солености находится в довольно широких доверительных границах. С одной стороны, это связано с относительно малой длиной выборки, а с другой – значительной межгодовой изменчивостью, обусловленной колебаниями притока пресных вод и морского льда.

При построении доверительного интервала для среднего квадратического отклонения солености будем использовать формулу (2.20). Неизвестными параметрами в ней являются _1* и _2*. Из распределения ² по значениям  =0,05 и =n1=27 находим ²_1*=16,8 и ²_2*=47. Теперь определяем нижнюю и верхнюю доверительные границы

(n1)^1/2s/_2* = 21,8(27)^1/2/(47)^1/2 ≈16,8 ‰

(n1)^1/2s/_1* = 21,8(27)^1/2/(16,8)^1/2 ≈27,7 ‰

Таким образом, на уровне значимости  =0.05 можно утверждать, что генеральное значение среднего квадратического отклонения годовых значений солености лежит в интервале 16,8 < _S < 27,7 ‰.

5. Понятие о толерантных интервалах

В отличие от доверительных интервалов, устанавливающих пределы изменчивости отдельных выборочных параметров случайной величины в зависимости от длины выборки, представляет интерес нахождение таких интервалов, которые показывают пределы случайной изменчивости всей рассматриваемой выборочной совокупности, т.е. определяют степень репрезентативности выборки. Это связано с тем, что сама генеральная совокупность нам, как правило, неизвестна. Данная задача может быть решена с помощью толерантных (допустимых) интервалов.

Примем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с известными выборочными характеристикамих и σ. Нетрудно задать такие пределы

u₁ = x – kσ, u₂ = x + kσ,

что с вероятностью р можно гарантировать попадание в них доли генеральной совокупности, не меньшей заданного предела Q. Эти пределы называются допустимыми (толерантными). Параметр k является функцией длины выборки n, Q и р

k = k_∞ [1 + x_p/(2n)^1/2 + (σx²_p + 10)/12n], (2.21)

где k_∞ - истинное значение k, соответствующее математическому ожиданию и истинной оценке дисперсии случайной величины Х. Из свойств нормального распределения следует, что 2F_o(t) = Q, a 0,5 – F_o(t) = 1 – p. Таким образом, задавая величину Q можно определить для некоторой произвольной выборки пределы u₁ и u₂, в которых с вероятностью р заключена доля Q всей генеральной совокупности. Однако толерантные интервалы не получили в статистике широкого распространения, ибо, как правило, априори величина Q неизвестна.