5. Интервальное оценивание числовых характеристик

Естественно, что точечные оценки параметра  в действительности являются приближенными значениями истинного неизвестного параметра  даже случае их несмещенности, эффективности и состоятельности. В связи с этим возникает вопрос: как сильно может отклоняться эта приближенная оценка от истинного значения? Другими словами, нельзя ли указать интервал вида [₁,₂], который бы с заданной вероятностью, близкой к единице, накрывал неизвестную нам оценку истинного значения параметра ? Такой интервал принято называть доверительным интервалом для параметра , а концы его называются доверительными границами. Поскольку доверительные границы находятся по выборочным данным, то они являются случайными величинами в отличие от оцениваемого параметра  - величины неслучайной. Следовательно, доверительный интервал – это область значений случайной величины внутри доверительных границ.

Именно в построении доверительного интервала состоит суть интервальных оценок выборочных параметров, которые позволяют судить о степени разброса оценок выборочного параметра, внутри которого с высокой надежностью находятся его истинное неизвестное значение. Аналитически интервальная оценка произвольного выборочного параметра , имеющего некоторое теоретическое распределение, может быть записана в виде:

р(_н <  < _в) = 1 – , (2.15)

где _н и _в – соответственно нижняя и верхняя доверительные границы, т.е. такие значения случайной величины, выход за пределы которых имеет наперед заданную доверительную вероятность (надежность)  = 1 – , где  - уровень значимости, представляющий собой вероятность события, которым решено пренебречь.

При симметричности доверительного интервала относительно оценки  его нижняя и верхняя границы определяются как

_н =   , _в =  + ,

где  – половина длины доверительного интервала при заданном уровне значимости, означающим вероятность принятия ошибочного решения. Величину |    | можно рассматривать как возможную абсолютную ошибку оценки, полученной по данной выборке, а величина  - это, по существу, предельная ошибка, которая может быть получена при оценке неизвестного параметра  по данному ряду наблюдений. Иногда ошибка  называется ошибкой репрезентативности выборки.

При установлении доверительных интервалов требуется знать закон распределения случайной величины. Особенно это касается малых объемов выборки (короткого временного ряда), поскольку для ее больших объемов можно условно принимать нормальность распределения, к которому асимптотически приближается случайная величина при n∞.

Интервальной оценкой математического ожидания m_x нормально распределенной случайной величины Х по выборочной средней х при известном среднем квадратическом отклонении  генеральной совокупности служит доверительный интервал вида:

x  z( / n^1/2 ) < m_x < x + z( / n^1/2 ) (2.16)

где z – значение аргумента функции Лапласа Ф(z) (см. Приложение 1 ), при котором Ф(z)=(1)/2. Данный критерий на практике используется весьма редко, так как истинная оценка величины  обычно неизвестна.

Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестном стандартном отклонении определяется по формуле:

x  t_[s/(n1)^1/2] < m_x < x + t_[s/(n1)^1/2], (2.17)

где s – выборочная оценка стандартного отклонения , рассчитываемая как

s =[(x_i x)²/(n1)]^1/2 , t_ – критерий Стьюдента при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы =n1.

Из этих формул видно, что ширина доверительного интервала при заданном уровне значимости зависит от объема выборки. С ростом n она суживается и при n∞ выборочная оценка параметра превращается в истинную оценку. Наоборот, с уменьшением n доверительный интервал расширяется, причем при n0х∞. Таким образом, смысл интервальной оценки состоит в том, что она представляет собой статистическую ошибку оцениваемого параметра, обусловленную ограниченностью выборки.

Отметим, что при достаточно больших значениях n доверительные границы, рассчитанные по формулам (2.16) и (2.17), почти не отличаются между собой. Это связано с тем, что исходя из центральной предельной теоремы среднее арифметическоеХ случайных величин Х₁, Х₂,...,Х_n при увеличении n стремится к нормальному закону распределения. Однако при малых значениях n расхождения в доверительных границах уже существенны. Исходя из сказанного, на практике для построения интервальной оценки для математического ожидания при любых n можно ограничиться формулой (2.17).

Рассмотрим теперь интервальные оценки для дисперсии. Поскольку ее величина распределена по закону ², то доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины Х при известном математическом ожидании рассчитывается по формуле:

p(n^.s²/²₂ < D_х < n^.s²/²₁) = 1 – , (2.18)

где s² – выборочная оценка дисперсии, D_х – истинная оценка дисперсии, ²₂ и ²₁ – табличные значения статистики ² при числе степеней =n, причем ²₂ = ²_/2 , ²₁ = ²_{1- /2} . В том случае, если математическое ожидание неизвестно, то формула (2.18) преобразуется к виду

p[(n1)s²/²_2* < D_x < (n-1)s²/²_1*] = 1 – , (2.19)

где ²_2* и ²_1* - табличные значения статистики ² при числе степеней свободы =n1. Нетрудно видеть, что расхождения в доверительных границах, рассчитанных по обеим формулам, становятся пренебрежимо малыми при возрастании величины n. Чтобы получить интервальную оценку для стандартного отклонения, достаточно в формуле (2.19) извлечь квадратный корень

(n1)^1/2s/_2* < _х < (n1)^1/2s/_1* , (2.20)