- •Высшая математика
- •614990 Пермь, ул. Букирева, 15
- •Предисловие
- •Раздел 1 основы теории множеств
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Понятие множества
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Подмножество
- •1.4. Дополнение к множеству
- •1.5. Разбиение множества
- •Глава 1
- •Раздел 2 элементы линейной алгебры
- •Глава 2. Определители
- •Понятие определителя
- •Вычисление определителей
- •2.3. Основные свойства определителей
- •Глава 2
- •Глава 3. Матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Действия над матрицами
- •3.3. Обратная матрица
- •Глава 3
- •Глава 4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •4.3. Правило Крамера
- •4.4. Метод Гаусса
- •Глава 4
1.2. Операции над множествами
Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или только множеству A, или только множеству B, или обоим множествам. Обозначается .
{ или }.
Пример 1.8.
, , .
Для того, чтобы операции с множествами сделать более наглядными, используется графическое представление множеств в виде кругов Эйлера.
Пусть точки внутри левого круга на рис. 1.1 представляют множество A (круг заштрихован горизонтальными линиями), точки внутри правого круга, заштрихованного вертикальными линиями, представляют множество B. Тогда вся заштрихованная область представляет объединение множеств .
Свойства операции:
-
;
-
;
-
;
-
Ø.
Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В одновременно. Обозначается .
{ и }.
Если множества и не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество, т.е. Ø.
Пример 1.9. , , .
Пример 1.10. , , Ø.
Графически пересечение множеств А и В представлено заштрихованной областью на рис. 1.2.
Свойства операции:
-
;
-
;
-
;
-
ØØ.
Для операции пересечения и объединения множеств выполняется закон: .
Если множество содержит n элементов, а множество содержит m элементов, то множество содержит элементов только тогда, когда их пересечение является пустым множеством.
Если множества , и содержат n, m и l соответственно, то множество содержит элементов.
1.3. Подмножество
Множество называется подмножеством множества B, если каждый элемент является элементом B. Обозначается: .
Графически изображение подмножества показано на рис. 1.3.
Пример 1.11. A = {3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5} , .
Проще всего представить себе подмножество как часть множества.
Само множество всегда является своим подмножеством, т.е. . Пустое множество Ø является подмножеством любого множества.
Свойства подмножеств:
-
если , то ;
-
если , то .
1.4. Дополнение к множеству
Рассмотрим некоторую систему множеств . Множество I называется универсальным для этой системы, если каждое множество системы является подмножеством I, т.е. , , , ….
Пример 1.12. , , (множество четных чисел), (множество простых чисел). Для этих множеств за универсальное можно принять множество всех натуральных чисел .
Графически изображение универсального множества I для системы из четырех множеств показано на рис. 1.4.
Дополнением множества называется множество, состоящее их тех и только тех элементов универсального множества, которые не входят в . Обозначается .
Пример 1.13. Пусть I – множество натуральных чисел, – мно-жество четных чисел. Тогда – множество нечетных чисел.
Графическое изображение дополнения к множеству показано на рис. 1.5 (заштрихованная область – это ).
Свойства дополнений:
-
; ;
-
; Ø;
-
(дополнение к множеству равно );
-
;
-
.