- •Высшая математика
- •614990 Пермь, ул. Букирева, 15
- •Предисловие
- •Раздел 1 основы теории множеств
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Понятие множества
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Подмножество
- •1.4. Дополнение к множеству
- •1.5. Разбиение множества
- •Глава 1
- •Раздел 2 элементы линейной алгебры
- •Глава 2. Определители
- •Понятие определителя
- •Вычисление определителей
- •2.3. Основные свойства определителей
- •Глава 2
- •Глава 3. Матрицы
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Действия над матрицами
- •3.3. Обратная матрица
- •Глава 3
- •Глава 4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •4.3. Правило Крамера
- •4.4. Метод Гаусса
- •Глава 4
Глава 2
2.12. -2. 2.13. 46. 2.14. 10. 2.15. -19. 2.16. 49. 2.17. -100. 2.18. -1. 2.19. -6 2.20. , , , . 2.21. 43. 2.22. -624. 2.23. -390. 2.24. 100.
Глава 3. Матрицы
3.1. Основные понятия
Матрицей размерности называется прямоугольная таблица элементов, состоящая из m строк и n столбцов. Матрицы обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными латинскими буквами.
(3.1)
где – элемент матрицы, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце. Элементами матрицы могут быть числа, переменные, функции и др. математические объекты. Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матриц:
Пример 3.1.
Две матрицы A и B одного размера называются равными, если при всех i и j.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, состоящая из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом.
Пример 3.2.
- матрица – строка.
Пример 3.3.
- матрица – столбец.
Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. Например, - квадратная матрица 2-го порядка. Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.
Элементы матрицы , у которых номер строки равен номеру столбца (i=j) называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример 3.4.
- диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обычно обозначается буквой E илиEn.
Пример 3.5.
E2 - единичная матрица 2-го порядка,
E3 - единичная матрица 3-го порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:
.
3.2. Действия над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд действий.
-
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицына числоназывается матрица , элементы которой равны
(3.2)
Пример 3.6.
, .
Следовательно, общий множитель всех элементов матриц можно выносить за знак матрицы.
Пример 3.7.
Матрицу называют противоположной матрице и означают .
-
Сложение матриц.
Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица, элементы которой равны
(3.3)
т.е. матрицы складываются поэлементно.
Пример 3.8.
, , .
-
Вычитание матриц.
Разность двух матриц одинакового размера определяется формулой
. (3.4)
Пример 3.9.
, , .
-
Транспонирование матриц.
Транспонированием матрицы называется замена ее строк столбцами с сохранением их порядка. Транспонированная матрица обозначается .
Пример 3.10.
, .
-
Умножение матриц.
Перемножать можно только матрицы согласованных размеров, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Пусть матрицы и имеют соответственно размеры и . Их произведением в указанном порядке называют матрицу размера , элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы , т.е.
. (3.5)
Пример 3.11.
Если в этом примере поменять местами матрицы – сомножители и попытаться найти произведение, то увидим, что оно не существует, т.к. количество столбцов матрицы не равно количеству строк матрицы . Следовательно, в общем случае для произведения матриц не выполняется переместительный закон, т.е.
. (3.6)