2. Тотожність Кассіні .

Кассіні – це знаменита династія французьких астрономів. Найбільш знаменитім з них вважається засновник цієї династії Джованні Доменіка Кассіні (1625-1712). Іменем Джованні Кассіні названо чимало астрономічних об’єктів : кратер Кассіні на Місяці, кратер Кассіні на Марсі, розщелина Кассіні у кільцях Сатурна, закони Кассіні та ін..Він також був знавцем і в області математики, саме він вивів так звану тотожність Кассіні:

(8)

Доведемо дану рівність методом математичної індукції.

При рівність (8) має місце

Припустимо, що рівність (8) має місце при , тобто

.

Покажемо, що при рівність (8) також має місце.

Розглянемо

==

=

що завершує індуктивне доведення.

2.3 .Числа Люка

В математиці під числами Фібоначчі розуміють, як правило, числову послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … Ці числа володіють дивовижними математичними властивостями, напевне, саме тому й привертають до себе увагу вчених.

Фібоначчі не став вивчати математичні властивості одержаної ним послідовності. За нього це зробили інші математики. Лідером цих досліджень в ХІХ столітті став французький математик Люка Франсуа Едуард Анатоль (1842 – 1891). Найважливіші його роботи відносяться до теорії.

Заслуга Люка перед теорією чисел Фібоначчі полягає в тому, що він вперше ввів саму назву числа Фібоначчі і, крім того, ввів до розгляду так звані узагальнені числа Фібоначчі, що описуються наступною рекурентною формулою:

L_n = L_{n − 1} + L_{n − 2}

із початковими значеннями L₁ = 1 і L₂ = 3.

Послідовність чисел Люка починається так:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, …

Едуард Люка ввів поняття «узагальнених послідовностей Фібоначчі», частковим випадком яких є числа Фібоначчі і числа Люка.

4. . Розв’язання задач

Суть методу розв’язування задач за допомогою повної індукціі полягая в наступному:

а) воно має значення для числа 1;

б) з справедливості твердження, що доводиться, для будь- якого вибраного натурального числа n випливає справедливість для числа n +1;

Найпростішою реалізацією ідей індукції з використання чисел Фібоначчі є саме визначення чисел Фібоначчі. Воно складається з двух перших чисел Фібоначчі: u₁=1 та u₂=1 в рекурентному переході від u_n та u_n+1 до u_n+2 ( u_n + u_n+1 = u_n+2).

1) В якості прикладу розглянемо так звану « задачу про стрибуна». Вона полягає в наступному:

Стрибун може стрибати в одному напрямку вздовж розділеної на клітинки полоси, переміщуючись при кожному стрибку або в сусідню клітинку, або через клітинку. Скількома способами стрибун може здвинутись на n-1 клітинку і скількома може переміститися з першої клітинки у n-у?

Розв’язання: позначимо шукане число через x_n. Очевидно, що x₁=1 ( бо перехід із першої клітинки в ту ж першу здійснюється тільки одним способом – відсутністю стрибків) та x₂=1 ( перехід з першої клітинки до другої також єдиний: він полягає в єдиному стрибку на сусідню клітинку). Нехай метою стрибуна є досягнення (n+2)-ої клітинки. Загальне число способів досягнення мети у наших позначення дорівнює x_n+2. Але із самого початку ці способи розбиваються на два класи: ті, що починаються із стрибка до другої клітинки, і ті, що починаються із стрибка до третьої клітинки. Із другої клітинки стрибун може переміститися до (n+2)-ої x_n+1 способами, а із третьої x_n способами. Таким чином, послідовність чисел x₁, x₂,…, x_n,… задовольняє рекурентне співвідношення:

x_n + x_n+1 = x _n+2

і тому співпадає із послідовністю Фібоначчі: x_n=u_n.

2. Довести тотожність

(9)

при натуральних n та k .

Доведення.

(індукція по k)

1. 

що справедливо.

що справедливо. Отже, формула (3.11) справедлива при

2. Нехай формула (9) справедлива при та тобто

та

Додаючи почленно ці дві рівності, дістанемо:

що завершу індуктивне припущення.

3) Довести тотожність

Доведення. Згідно з тотожністю Касіні