III Розділ. Застосування чисел Фібоначчі

3.1. Числа Фібоначчі та геометрія

а) У математиці та мистецтві дві величини утворюють золоти́й пере́тин (лат. Sectio aurea, англ. Golden ratio), якщо співвідношення їх суми і більшої величини дорівнює співвідношенню більшої і меншої. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою .

Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення, вперше запропоноване давньогрецьким математиком Евклідом. Вживається в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку АВ в такій точці О, що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою - менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною (|АВ||OB| = |АO|2).

Це рівняння має єдиний додатній розв'язок:

Золотий перетин є границею відношення двох сусідніх членів у послідовності Фібоначчі:

При цьому члени послідовності збігаються до поперемінно — один елемент знизу, наступний згори і т.д. Наприклад:

Формула Біне виражає за допомогою значення числа Фібоначчі в явному вигляді:

Окрім цього, послідовні степені числа задовільняють рекурентному співвідношенню ідентичному до чисел Фібоначчі:

Спіраль Фібоначчі (див. рисунок) є наближенням золотої спіралі.

Рис.2. Спіраль Фібоначчі

Ця крива не являється спіраллю з математичної точки зору, але вона є дуже гарною апроксимацією спіралей, які часто зустрічаються в природі. Надалі криву (рис) будемо називати спіраллю Фібоначчі.

3.1 Б) Числа Фібоначчі та їх взаємозв’язок з іншими науками

Числа Фібоначчі також пов’язані з іншими науками: ботанікою, анатомією, астрономією. Наприклад, спірально закручуються вусики рослин і роги баранів, по спіралі відбувається ріст тканин в стовбурах дерев, по спіралі розташоване насіння в соняшниках. (Додаток 4) Кожен з нас багато разів захоплювався формами морських раковин, які теж побудовані за спіральним принципом. Навіть наша Галактика також має форму спіралі. (Додаток 3, 5) Порівнюючи спіральні форми раковини наутілуса із спіраллю Фібоначчі, приходимо до висновку, що раковина наутілуса побудована за принципом спіралі Фібоначчі. Цю форму можна помітити і в інших морських раковинах. Все в природі підлягає чітким математичним законам. Виявляється, розташування листків на стеблах носить строго математичний характер, і це явище в ботаніці має назву філотаксис. Суть філотаксису полягає у гвинтовому розташуванні листків на стеблах рослин, гілках на деревах, пелюстків в суцвіттях, насіння в соснових шишках і голівці соняшника. В основі закону філотаксиса рослин лежить числова послідовність, що утворюється відношенням сусідніх чисел Фібоначчі. Тобто в кожному з таких ботанічних об’єктів, як ананас, соснові та кедрові шишки, головка кольорової капусти та ін., насіння та маленькі часточки на їх поверхні розташовуються на перетині лівих та правих спіралей; при цьому відношення чисел лівих і правих спіралей завжди дорівнює відношенню сусідніх чисел послідовності Фібоначчі. Серед понять біології особливе місце займає генетичний код. Встановлена наукою простота основних принципів кодування спадкової інформації в живих організмах відноситься до ряду найважливіших відкриттів людства. Ця простота полягає в тому, що спадкова інформація кодується текстами з трьохбуквених слів –– триплетів, або кодонів, що складаються на базі алфавіту з чотирьох букв –– азотистих основ A(аденін), C (цитозин), G (гуанін), T (тимін). Дана система запису називається генетичним кодом. Триплети генетичного коду зберігаються на відомій спіралі Уотсона-Кріка, що являє собою молекулу ДНК.

В 1990 році французький дослідник Жан-Клод Перес встановив зв’язок генетичного коду з числами Фібоначчі та золотим перерізом. Він відкрив математичний закон, що керує самоорганізацією основ T, C, A, G всередині ДНК. Жан-Клод Перес виявив, що послідовні множини нуклеотидів ДНК організовані в структури дальнього порядку, які називаються резонансами. Резонанс являє собою пропорцію, що забезпечує поділ ДНК в співвідношенні з числами Фібоначчі.

Ключова ідея відкриття Переса полягає в наступному. Розглянемо будь-який відрізок генетичного коду, що складається з базисів типу T, C, A, G, і нехай довжина цього відрізка дорівнює числу Фібоначчі, наприклад 144. Якщо кількість основ типу Т в розглядуваному відрізку ДНК дорівнює 55 (число Фібоначчі), а сумарна кількість основ типу C, A, G дорівнює 89 (число Фібоначчі), то розглядуваний відрізок генетичного коду утворює резонанс, тобто резонанс –– це пропорція між трьома числами Фібоначчі (55, 89, 144). Відкриття полягає в тому, що кожна ДНК утворює множину резонансів розглядуваного виду, тобто, як правило, відрізки генетичного коду довжиною, рівною числу Фібоначчі , розбиваються золотим перерізом на множину основ типу Т (кількість яких в розглядуваному відрізку генетичного коду рівна ) та сумарну множину решти основ (число яких рівне ). Якщо провести дослідження всіх можливих відрізків генетичного коду Фібоначчі, то отримаємо певну множину резонансів, яку називають SUPRA–кодом ДНК.

Починаючи з 1990 вказана закономірність неодноразово була перевірена й підтверджена багатьма видатними біологами.

Без сумнівів відкриття, розглянуте вище, відноситься до ряду видатних відкриттів в області ДНК, що служить розвитку генної інженерії.

Таким чином майже на кожному кроці ми маємо справу з послідовностями Фібоначчі, вони зустрічаються в хімії, економіці, інформатиці, біології та інших науках.

в) Числа Фібоначчі та мистецтво

Числа Фібоначчі також мають застосування у різних галузях мистецтва: наприклад, живописі, фотографії.

Розглянемо фотографії, які зроблені з застосуванням пропорцій Фібоначчі. (Додаток 6 а)

На цьому знімку більш виділяється очей коня розташована на перетині ліній згідно пропорцій Фібоначчі. Якщо б і дотримувався правила третин, голова коня була б розташована ближче до краю знімка. На цьому ж знімку голова і не в центрі і не скраю.

На наступній фотографії (Додаток 6 б) голова розташована так, що око знаходиться рівно в центрі спіралі.

На фотографії з KeyWest (Додаток 7 а) горизонт перетинається з верхньою лінією сітки. Завдяки цьому на фотографії гармонійно розташовані і церква і вулиця і небо.

На слідуючому знімку (Додаток 7 б) сітка Фібоначчі також допомагає вдало скомпонувати кадр. Двері укладені між вертикальними лініями і горизонтальній, завдяки цьому в кадрі присутня достатня кількість стелі, яка веде погляд глядача до дверей.

На закінчення хотілося б сказати, що ви можете з успіхом продовжувати користуватися правилом третин, але якщо ви додасте в свої знімки і правило золотого перетину, ви зможете урізноманітнити свої знімки і зробити їх ще більш досконалими і гармонійними.