- •Матрицы. Основные определения. Типы матриц.
- •Линейные операции над матрицами
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Обратная матрица. Условия обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Системы линейный алгебраических уравнений. Основные определения.
- •Векторно-матричная запись слау
- •Решение слау по пр. Крамера. Совсместные и несовместные системы.
- •Решение слау с помощью обратной матрицы.
- •Решение слау методом исключения неизвестных. Метод Жордана-Гауса
- •Алгоритм
- •Ранг матрицы. Способы определения ранга.
- •13.Теорема Кронекера-Капелли.Схема исследования систем на совместность.
- •14.Однородные слау
- •15.Векторы n-мерные.Основные определения.
- •22. Смешанное произведение 3-х векторов. Выражения произведения через координаты сомножителей
- •23. Условия ортоганльности , коллианиарности, и компланарности векторов
- •25. Прямая в пространстве Виды уравнений
- •26 Плоскость в пространстве
- •27. Окружность. Эллипс. Каноническое уравнение
- •28. Гипербола. Парабола. Каноническое уравнение
-
Векторно-матричная запись слау
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
Запись в матричном виде AX = B.
Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицой. (А/b)
-
Решение слау по пр. Крамера. Совсместные и несовместные системы.
— способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
i-столбец заменяется столбцом свободных членов.
-Если det=0, а det i не равен 0, то сист. не имеет решений.
-Если det=0, det i =0, то сист. либо не имеет решеений,либо бесконечно много.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.
-
Решение слау с помощью обратной матрицы.
-Нахождение det (не равн 0)
-А транспонир. (строки замен столб)
-А союзн.
- А-1 = (1/detA )*А союз
-
Решение слау методом исключения неизвестных. Метод Жордана-Гауса
используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.
Алгоритм
-
Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
-
Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
-
Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
-
Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
-
Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
-
После повторения этой процедуры n − 1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
-
Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
-
Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
-
Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.
-
Ранг матрицы. Способы определения ранга.
-- наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы
ранг матрицы не изменяется: a) при перестановке двух строк; б) при умножении одной строки на число отличное от нуля; в) при прибавлении (вычитании) некоторой строки умноженной на любое число к другой строке; г) при транспонировании
Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы : - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.
Существует несколько способов найти (вычислить, определить, подсчитать) ранг матрицы. Один из них - преобразование матрицы методом Гаусса и подсчёт числа ненулевых строк. Так вот, ранг и будет равен этому числу ненулевых строк.