13.Теорема Кронекера-Капелли.Схема исследования систем на совместность.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг матрицы равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг матрицы меньше числа неизвестных. Система называется совместной, если имеет решения.
14.Однородные слау
Однородной
системой линейных уравнений называется
система вида:
Нулевое
решение
системы
(1) называется тривиальным
решением.
Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.
Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.
Решения однородной системы обладают свойством линейности.
15.Векторы n-мерные.Основные определения.
16.Линейные операции над векторами.Свойства линейных операций.
-сложение
векторов )
Свойство коммутативности:
2)
Свойство ассоциативности:
3)
4)
где
-
вектор противоположный
.
-умножение
вектора на число(Произведением
вектора
на
число λ
называется вектор
,
такой, что
,
а
его направление совпадает с направлением
вектора
,
если λ>0
и противоположно ему, если λ<0.
)
-проекция
вектора(Проекцией
вектора
на
ось l
называется число
где
α-
угол между направлениями оси l
и вектора
.
Свойства
проекций:
1)
2)
,
где λ-произвольное
число)
17.Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов.
Векторы
а1,
а2,
..., ак
линейного
пространства называются
линейно
зависимыми,
если
существуют такие числа
1,
2,
...,
к,
не
равные одновременно нулю, при которых
выполняется:
|
|
Если сис-ма векторов имеет нулевой вектор,то сист-ма линейно зависимая.Если равенство (8.1) выполнимо лишь при всех i = 0, то векторы а1, а2, ..., ак называются линейно независимыми.
18.Базис на плоскости и в пространстве.Декартова прямоугольная сис-ма координат.
Базисом на прямой назыв любой не нулевой вектор.Базисом на плоскости(т.е. в пространстве)назыв упорядоченная пара не паралельн векторов.Базисом в 3-х мерном пространстве назыв упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат. В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.
19.Разложение вектора по базису.Координаты вектора в базисе.