- •1. Линейные пространства
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
- •Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
- •Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
- •Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
- •2. Системы линейных уравнений
- •Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
- •Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
- •Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
- •Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
- •Найдите фундаментальный набор решений системы:
- •Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
- •3. Евклидовы пространства
- •Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.
- •4. Матрицы и определители
- •5. Комплексные числа
- •6. Линейные операторы в пространстве
- •Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
- •Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
- •Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
- •Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
- •Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
- •7. Квадратичные формы
- •Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
- •Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
- •Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
- •Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
- •Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
- •Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
- •8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
- •Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •9. Кривые второго порядка
- •Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
- •Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
- •Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
- •Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
- •Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
- •Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
- •Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •10. Выпуклые множества в точечном пространстве
- •Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
- •Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
- •Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
- •Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
- •11. Задачи линейного программирования
- •Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
- •Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:
- •Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
- •Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
-
Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
Пересечение любых плоскостей в R3 представляет собой прямую их пересечения. Это
прямая.
9. Кривые второго порядка
-
Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
Где коэффициенты – действительные числа, причем не равны нулю одновременно и имеет место симметричность
-
Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
Окружность с центром в точке A(x0, y0) радиуса R > 0 - геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки A(x0, y0) на равное заданное расстояние R.
Окружность состоит из точек M(x, y): ρ(M,A) = R, то есть:ρ(M,A) =корень (x − x0)2 + (y − y0)2 = R
Введя замену x' = x − x0, y’ = y − y0 Получим:
Корень x'2 + y’2 = R. Поменяв обозначения и
возведя в квадрат получим каноническое уравнение окружности:x2 + y2 = R2
-
Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
-
(x - a + (y - b =
При p > 5 уравнение не задает окружности, так как справа получаем отрицательное
значение, хотя ∀x, y ∈ R слева стоит неотрицательное выражение (сумма квадратов).
При p <= 5 уравнение задает окружность с центром в точке C(−1, 2) радиуса r = √5 − p.
-
Дайте определение эллипса. Запишите его каноническое уравнение. Каков смысл параметров, входящих в каноническое уравнение эллипса? Постройте линию, заданную уравнением
Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой из которых до 2 заданных точек F1 и F2, называемых фокусами постоянна и равна 2a.
x2/a2 + y2/b2=1 = 1 –каноническое уравнение эллипса. 0>E<1.
Факальный параметр p=b2/a, r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.
r1+r2=2a – большая ось.
2b – малая ось.
2с – расстояние между фокусами. b2 =a2-c2.
Е=с/а – эксцентриситет.
x2 + 2y2 = 4
x2/22 + y2/√22 = 1
Главная полуось a = 2. Побочная полуось b = √2. Точки A1(2, 0), A2(0,√2), A3(−2, 0), A4(0,−√2)
- принадлежат эллипсу.
Необходимо нарисовать эллипс, проходящий через указанные точки A1,A2,A3,A4.
-
Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса:x2/a2 +y2/b2 = 1
Если a = b, то данное уравнение описывает окружность (эллипс становится окружностью).
С точке зрения уравнения, можно домножить на a2, тогда мы получим каноническое уравнение окружности радиуса a: x2 + y2 = a2
С точки зрения геометрии при a = b полуоси эллипса равны, что говорит о его симметрии, то есть эллипс становится окружностью.
При a не= b полуоси у эллипса различные и эллипс не является окружностью.
-
Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
Гипербола - геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний, от которых до двух заданных точек (фокусы гиперболы) одинаково. Гипербола состоит из точек M(x, y): |ρ(M,F1) − ρ(M,F2)| = 2a = const, где F1, F2 -фокусы гиперболы, a - длина главной полуоси.
Каноническое уравнение гиперболы:
x2/a2 − y2/b2 = 1 основная гипербола
x2/a2 − y2/b2 = −1 сопряженная гипербола
Параметры a, b - определяют длины главной (расположенной на оси Ox) и побочной полуоси (расположенной на оси Oy) соответственно.
1) x2 = y2 - НЕ гипербола. Это уравнение задает пару пересекающихся прямых.
2) x2 − 2y2 = 4 - гипербола: x2/2в2 − y2/√2 = 1, a = 2, b= √2.
3) x2 + 2y2 = 1 - НЕ гипербола: Это уравнение задает эллипс.