- •1. Линейные пространства
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
- •Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
- •Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
- •Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
- •2. Системы линейных уравнений
- •Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
- •Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
- •Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
- •Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
- •Найдите фундаментальный набор решений системы:
- •Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
- •3. Евклидовы пространства
- •Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.
- •4. Матрицы и определители
- •5. Комплексные числа
- •6. Линейные операторы в пространстве
- •Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
- •Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
- •Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
- •Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
- •Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
- •7. Квадратичные формы
- •Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
- •Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
- •Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
- •Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
- •Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
- •Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
- •8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
- •Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •9. Кривые второго порядка
- •Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
- •Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
- •Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
- •Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
- •Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
- •Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
- •Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •10. Выпуклые множества в точечном пространстве
- •Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
- •Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
- •Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
- •Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
- •11. Задачи линейного программирования
- •Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
- •Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:
- •Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
- •Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
-
Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Называется базисное пр-во решений линейной однородной системы ур-й. Для того, чтобы построить фундаментальный набор решений однородной СЛАУ при помощи метода Гаусса, необходимо решить систему по этому методу и выразить базисные неизвестные через свободные. Далее, присваивая одной свободной неизвестной значение 1, а остальным 0, получим фундаментальное решение. Повторяя эту операцию со всеми свободными неизвестными, получим фундаментальный набор решений.
-
Найдите фундаментальный набор решений системы:
Преобразуем систему, вычтем из 2ого уравнения 2 первых строчки, получим:
2x1 − x2 + x3 + x4 = 0
3x2 + x3 − x4 = 0
Обозначим x1, x3 - главные неизвестные, а x2, x4 - свободные. Тогда выразим главные неизвестные через свободные:x1 = 2x2 − x4, x3 = x4 − 3x2
Подставив вместо свободных неизвестных (x2, x4) базисные вестора (1, 0) и (0, 1) получим фундаментальный набор решений:
(2, 1,−3, 0), (−1, 0, 1, 0)
-
Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
Определение Базис линейного пространства решений однородной системы уравнений называется фундаментальной совокупностью решений (сокращенно ФСР).
Так как X1,X2 - суть базис линейного пространства решений некой однородной системы уравнений, то есть X1,X2 - система линейно независимых векторов, образующих базис. Это означает, что система Y1, Y2, где Y1 = X1, Y2 = X1 − X2 - тоже линейно независима и образует базис того же линейного пространства, а значит является другим
фундаментальным набором решений той же однородной системы уравнений. Получили
другой фундаментальный набор решений исходной системы:Y1 = X1 = (2, 1, 2)
Y2 = X1 − X2 = (0, 4, 1)
3. Евклидовы пространства
-
Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.
Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. Rn: x=(x1,…,xn), y=(y1,…yn) называется число (х,у)=
Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского: І(а, b)І ≤ ІaІ ІbІ
Пример: x = (−1, 0), y = (4, 3) ∈ R2:
(x, y)=(−1)·4+0·3 = −4, |x|=1, |y|=√16 + 9 = 5
|(x, y)| = 4 ≤ 5 = |x|·|y|
-
Докажите, что для любых векторов верно неравенство треугольника .
Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:
Доказательство:
В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,
2+2+2=(+)2
Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.
Получим:
-
Дайте определение ортонормированной системы векторов в . Приведите пример ортонормированной системы в .
Система векторов v1, ...vn называется ортонормированной, если ∀i, j = 1..n выполняется:(vi, vj) = δij , где δij =1 0, i = j;, i не равно j. − символ Кронекера.
Пример ортонормированной системы в R3:
x = (1, 0, 0), y= (0, 1, 0), z= (0, 0, 1)
(x, y) = (y, z) = (x, z) = 0, (x, x) = (y, y) = (z, z) = 1
-
Докажите, что ортонормированная система в , состоящая из 3 векторов, является базисом пространства .
Пусть x, y, z ∈ R3 - система ортонормированных векторов: (x, y) = (y, z) = (x, z) = 0, (x, x) = (y, y) = (z, z) = 1
Предположим, что система векторов линейно зависима, то есть z = αx + βy. Тогда 0 = (z, x) = (αx + βy, x) = α(x, x) + β(x, y) = α
Мы получили, что α = 0, то есть z = βy. Аналогично 0 = (z, y) = (βy, y) = β(y, y) = β
Мы получили, что α = β = 0, a значит, z = 0, что противоречит с тем условием, что (z, z) = 1. Противоречие означает, что система ортонормированных векторов x, y, z ∈ R3 -линейно независима, что означает, что система трех линейно независимых векторов x, y, z
является базисом в пространстве размерности 3.