- •1. Линейные пространства
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
- •Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
- •Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
- •Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
- •2. Системы линейных уравнений
- •Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
- •Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
- •Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
- •Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
- •Найдите фундаментальный набор решений системы:
- •Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
- •3. Евклидовы пространства
- •Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.
- •4. Матрицы и определители
- •5. Комплексные числа
- •6. Линейные операторы в пространстве
- •Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
- •Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
- •Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
- •Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
- •Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
- •7. Квадратичные формы
- •Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
- •Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
- •Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
- •Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
- •Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
- •Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
- •8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
- •Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •9. Кривые второго порядка
- •Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
- •Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
- •Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
- •Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
- •Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
- •Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
- •Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •10. Выпуклые множества в точечном пространстве
- •Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
- •Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
- •Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
- •Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
- •11. Задачи линейного программирования
- •Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
- •Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:
- •Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
- •Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
-
Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
а) задает подпространство M, так как это уравнение определяет прямую (одномерное подпространство) на плоскости, проходящее через (0,0) и для него выполнены условия подпросранства.
б) не задает подпространства, так как нарушается 2ое условие: Пример: x = (1, 0) 2 M.
При этом 2 · x = (2, 0) не принадлежит M.
в) не задает подпространства, так как нарушается первое условие
2. Системы линейных уравнений
-
Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной (появление противоречивой строки)
Например:
2*х1 + 3*х2 + х3 - 2*х4 =9
7*х1 + 8*х2 – х3 - 2*х4 =5
3*х1 + 2*х2 - 3*х3 + 2*х4 =10
Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
Например:
Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной.
Например: (имеет единственное решение)
х1+2*х2+3*х3=7
2*х1-х2+х3=4
3*х1-2*х2-х3=3
Систему называют неопределенной, когда она имеет бесконечно много решений (если число переменных больше, чем количества уравнений)
!!Любая однородная система совместна!!
-
Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
Решим систему относительно х1,х2,х3. .
Каждый раз меняя значения, мы будем получать разные решения.
-
Докажите, что множество решений однородной системы из уравнений с неизвестными является подпространством пространства . Какова размерность этого подпространства? Ответ обоснуйте.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
Решение системы х = (x1, x2, …, xn). Пусть b = (b1, b2, …, bn), c = (c1, c2, …, cn) – являются решениями системы. Тогда b+с =(b1+c1, b2+c2, …, bn+cn) является решением системы (подставить в систему, раскрыть скобки). Для любого k ϵ R и b = (b1, b2, …, bn) kb = (kb1, kb2, …, kbn) также является решением системы. Значит, множество решений СОЛУ является подпространством Rn, т. к. замкнуто относительно операций сложения и умножения вектора на число. Размерность равна m-r(рангу системы векторов).
-
Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
Теорема (Кронекера и Капелли): Неоднородная система уравнений Ax = b совместна тогда и только тогда, когда rangA = rangB (где B - расширенная матрица системы (B = [A|b]), получающаяся из A дописыванием свободного столбца b).
Теорема: Общее решение неоднородной системы линейных уравнений Ax = b имеет
вид x = x0 +c1x1 +...+crxr, где x0 - некоторое (частное) решение неоднородной системы,
а c1x1 + ... + crxr - общее решение однородной системы Ax = 0. Пример:
A =1 1 1
1 1 −1
b=3
1 , x∈ R3.
Здесь x0 = (1, 1, 1) - частное решение неоднородной системы. x1 = (1,−1, 0) - общее
уравнение однородной системы. Тогда решение x = (a, b, c) неоднородной системы:x = (a, b, c) = x0 + αx1 = (1, 1, 1) + α(1,−1, 0) = (1 + α, 1 − α, 1)