28. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены.

Следствие 1. Всякий многочлен f (x) степени n ≥ 1 разлагается над полем комплексных чисел в произведение линейных множителей, т.е. поле C комплексных чисел алгебраически замкнуто по определению 1.

Следствие 2. Всякий многочлен f (x) из кольца C[x] степени n ≥ 1 имеет точно n комплексных корней.

Следствие 3. Неприводимым над полем C комплексных чисел может быть только многочлен первой степени.

Следствие 4. Пусть - мнимый корень многочлена f (x) с действительными коэффициентами, тогда число также является корнем многочлена f (x) .

до-во: пусть

По свойствам сопряженных комплексных чисел имеем:

.

−но.

29. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

Следствие 5. Неприводимым над полем R действительных чисел может быть только многочлен не выше второй степени.

до-во: пусть p(x) многочлен неприводимый над полем R степени n ≥ 2 . Тогда p(x) не имеет действительных корней, в противном случае он был бы приводимым над R. Пусть – мнимый корень многочлена p(x) . По следствию 4 также является корнем многочлена p(x) . Следовательно p(x) представим в виде

(3)

Многочлен имеет действительные коэффициенты. Многочлен p(x) неприводим, q(x) – многочлен нулевой степени, это значит что многочлен ассоциирован с многочленом ⇨ имеет степень 2.

до-но.

Следствие 6. Всякий многочлен f (x) степени n ≥ 1 из кольца разлагается над полем R действительных чисел в произведение линейных и квадратных неприводимых множителей. Всякому линейному множителю соответствует действительный корень, а всякому квадратному – пара сопряженных мнимых корней многочлена.

30. Решение уравнений 3 степени. Формулы Кардана.

Всякое уравнение третьей степени представимо в виде

(1)

Мы полагаем, что старший коэффициент равен 1, в противном случае мы бы разделили все коэффициенты уравнения на старший коэффициент и получили бы уравнение равносильное данному. Выполним замену переменной в уравнении (1), приняв

В результате такой замены мы получим уравнение: (2)

Пусть – корень уравнения (2). Рассмотрим квадратное уравнение: ,

(4’) – по теореме Виета (4)

(4’’)

Выполним подстановку из (4) в (2):

или

По теореме Виета из равенств (6) и (7) следует, что и являются

корнями квадратного уравнения , т.е.

следовательно формула (7) называется формулой Кардана

Каждый из кубических радикалов (8) и (9) имеет три значения. Комбинируя эти значения мы получим 9 различных значений . Только три из этих значений являются корнями уравнения (2). Поэтому для каждого значения нужно брать лишь то значение , которое удовлетворяет условию (4)

31. Решение уравнений 4 степени. Кубическая резольвента.

Всякое уравнение 4 степени можно представить в виде:

.

Заменой переменной это уравнение приводится к виду:

(12)

Данное уравнение можно решить способом Феррари. Перенесём все слагаемые в уравнении (12) кроме первого в правую часть

Введем вспомогательную переменную и прибавим к обеим частям последнего уравнения

Подберем так, чтобы справа также был квадрат двучлена. Это будет выполняться тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена относительно переменной y равен 0, т.е.

Полученное уравнение третьей степени называется кубической резольвентой уравнения (12). Пусть – корень уравнения (12). Подставив его в уравнение (11) получим уравнение вида:

Корни этих уравнений и являются корнями уравнения четвертой степени.

Таким образом, решение уравнения 4-ой степени способом Феррари сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени.