41. Условие при которых многочлены имеют общий корень
Теорема: многочлены
у которых, по крайней мере, один из
коэффициентов
и
отличен
от нуля, т. и т.т. имеют общий корень,
когда существуют многочлены
и
удовлетворяющие следующим условиям:
1)
2)
многочлены
и
представимы в виде
;
3) по крайней мере, один из многочленов и отличен от нуля.
до-во:
Необходимость. Пусть многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень α .
Тогда
они представимы в виде
(1)
Многочлены f(x) и g(x) в равенствах (1) удовлетворяют условиям 1-3теоремы. Действительно, умножив обе части первого равенства на h(x) получим:
Таким образом, выполняется условие 2. Наконец, хотя бы один из многочленов q(x) и h(x) отличен от нуля, в противном случае оба многочлена f(x) и g(x) были бы равны нулю, что противоречит условию.
до-но.
42. Результант многочленов Решение системы двух уравнений с двумя переменными с помощью результанта.
Определение:
результантом
многочленов
называется
определитель
определяемый равенством:
=
Теорема: многочлены у которых, по крайней мере, один из коэффициентов и отличен от нуля, тогда и только тогда имеют общий корень, когда результант этих многочленов равен 0.
Следствие: если результант f и g равен нулю, то либо эти многочлены имеют общий корень, либо оба коэффициента и в этих многочленах равны нулю.
Результант многочленов находит практическое применение при решении системы двух уравнений с двумя переменными, из которых хотя быодно нелинейное, т.е. системы вида:
-(4)
где
и
многочлены
из кольца
Расположим члены в многочленах и по убыванию степеней одной изпеременных, например .
;
;
Где
,
– многочлены от одной переменной
.
Рассматривая многочлены
и
как многочлены от одной переменной
,
составим результант
который очевидно является многочленом
от одной переменной
над полем
.
Пусть
– решение системы (4). Тогда многочлены
и
имеют общий корень
. По теореме 4.2 в таком случае
С другой стороны, если
то либо оба коэффициента
(β)
и
(β)
равны нулю, либо многочлены
и
имеют общий корень α
. Во втором случае вектор
является решением системы (4).
Таким образом, систему (4) можно решать в следующем порядке:
1.
Строится результант
многочленов
и
2.
Находятся корни результанта
3.
Найденные корни результанта
подставляются последовательно в
многочлены
и
Пусть,
например,
– корень результанта
тогда в результате подстановки получим
многочлены
и
от одной переменной
.
Далее находятся общие корни этих
многочленов. Ими будут те и только
те числа, которые являются корнями
наибольшего общего делителя многочленов
и
4.
Составляются всевозможные пары чисел
где
–
корень многочлена
а α
– общий корень многочленов
и
Эти пары и составляют множество решений системы (4).