39.Элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета.

Определение: элементарными симметрическими многочленами от переменных называются следующие многочлены:

;

;

;

………………………………………………………………………..

;

Существует связь элементарных симметрических многочленов с известными формулами Виета.

Теорема (теорема Виета): пусть – многочлен кольца и – корни этого многочлена, тогда:

- (6)

;

−

……………………………………………………………………..

;

До-во: так как – корни многочлена то , выполнив умножение в правой части и приравняв затем

соответствующие коэффициенты правой и левой частей последнего

равенства, получим равенства (6) (формулы Виета).

до-но.

Согласно формулам Виета значение симметрического многочлена от корней многочлена равно коэффициенту этого многочлена, взятому со знаком

40. Основная теорема о симметрических многочленах.

Теорема (основная теорема о симметрических многочленах): всякий симметрический многочлен из кольца можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов над полем , то есть =g( , где многочлен из кольца [ ].

До-во: расположим члены многочлена в словарном порядке. Пусть при этом - (7) – высший член многочлена . По свойству 3 симметрических многочленов справедливы неравенства :

- (8)

Рассмотрим выражение - (9) .

Подберём показатели так, чтобы высший член многочлена (9) совпал с высшим членом многочлена , то есть с (7) .

Высшими членами многочленов соответственно являются , .

Тогда по лемме о высшем члене многочлена высшим членом многочлена (9) будет являться выражение :

–(10);

Это выражение совпадёт с (7) тогда и только тогда, когда будут выполняться равенства:

Из этой системы находим :

;

;

;

…………………….

;

;

Таким образом, высший член многочлена

- (11)

совпадает с высшим членом многочлена .

Вычтем из многочлена многочлен (11). Пусть в результате получим многочлен , то есть В результате вычитания высший член многочлена уничтожится и все члены многочлена будут ниже (7).

Пусть и – (12) высший член многочлена . Вычтем далее из многочлена многочлен .

Получим

В результате вычитания высший член многочлена уничтожится и все члены многочлена будут ниже и т.д. Этот процесс понижения членов многочленов не может продолжаться бесконечно. Действительно, пусть на каком-то -ом шаге в результате вычитания мы получим многочлен , высшим членом которого будет выражение (13). По свойству 3 справедливы неравенства . При этом ≤ , так как член (13) ниже члена (7). Этим условиям может удовлетворять лишь конечное множество упорядоченных систем целых неотрицательных чисел .

Таким образом , в конечном итоге будем иметь:

;

;

;

…………………………………………………….

= +…+ .

до-но.

Следствие: пусть – многочлен из кольца и пусть – все корни этого многочлена. Тогда всякий симметрический многочлен из кольца при , , принимает значение принадлежащее полю .