51.Глобальный (абсолютный) и локальный экстремум функции

Т . Любой локальный максимум (минимум) задачи выпуклого программирования является глобальным максимумом (минимумом).

52.Условный экстремум функции

53. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (3.3) — (3.5) называется функция

Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, т. к. система , как правило, имеет несколько решений. Нелинейное программирование как новая математическая дисциплина возникла главным образом в связи с указанной ограниченностью метода множителей Лагранжа.

Таким образом, определение экстремальных точек задачи методом множителей Лагранжа включает следующие этапы:

1. Составление функции Лагранжа.

2. Нахождение частных производных от функции Лагранжа по переменным x_j и _i и приравнивание их к нулю.

3. Решая систему уравнений находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значение функции в этих точках.

54. Определение выпуклой и вогнутой функции

А=₁А₁+₂А₂, (2.44)

₁0,₂0, ₁+₂=1. (2.45)

Точка А, для которой выполняются условия (2.44) и (2.45), называется выпуклой линейной комбинацией точек А₁ и А₂. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию. Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий.

55. Общая постановка задачи выпуклого программирования. Теорема о существовании решения задачи вп (формулировка)

Рассмотрим задачу нелинейного программирования:

f (x₁, x₂, ..., x_n)max, (3.3)

g_i (x₁, x₂, ..., x_n)b_i (i=1, ..., m), (3.4)

x_i0 (j=1, ..., n), (3.5)

где f и g_i — некоторые функции n переменных x₁, x₂, ..., x_n.

Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций f и g_i, разработаны эффективные методы их решения. В частности, ряд таких методов имеется для решения ЗНЛП (3.3) — (3.5) при условии, что f — вогнутая (выпуклая) функция и ОДР, определяемая ограничениями (3.4) — (3.5), — выпуклая.

Функция f(x₁, x₂, ..., x_n), заданная на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если для любых двух точек X₁ и X₂ из X и любого 01 выполняется соотношение

Функция f(x₁, x₂, ..., x_n), заданная на выпуклом множестве X, называется вогнутой, если для любых двух точек X₁, X₂ из X и любого 01 выполняется соотношение

Если f (X) — выпуклая функция, то –f (X) — вогнутая функция, и наоборот.

Сумма выпуклых (вогнутых) функций есть выпуклая (вогнутая) функция. Задача (3.3) — (3.5) является задачей выпуклого программирования, если функция f(x₁, x₂, ..., x_n) является вогнутой (выпуклой), а функции g_i (X) (i=1, ..., m) — выпуклыми.

Т е о р е м а. Любой локальный максимум (минимум) задачи выпуклого программирования является глобальным максимумом (минимумом).

Говорят, что множество допустимых решений задачи (3.3) — (3.5) удовлетворяет условию регулярности, если существует по крайней мере одна точка X_i, принадлежащая ОДР такая, что g_i (X_i)<b_i (i=1,..., m).