Раздел 6. Простейшие движения твердого тела

6.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок прямой, неизменно связанный с телом, остается параллельным своему начальному положению.

Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. Примерами прямолинейного поступательного движения являются движение суппортов большинства металлорежущих и деревообрабатывающих станков, движения поршней в цилиндрах стационарного двигателя внутреннего сгорания. Криволинейно поступательно движутся кабины аттракциона «колесо обозрения».

Пусть твердое тело движется поступательно относительно условно неподвижной системы . Выберем в теле произвольно две точки и , положение которых определяется радиус-векторами и (рис. 7). Соединим концы этих векторов радиус-вектором . Поскольку тело является твердым, а движение поступательным, то вектор остается неизменным по модулю и направлению. Уравнения движения точек и имеют вид:

. (32)

Из рис. 7 видно, что вектора и связаны между собой следующим соотношением:

. (33)

Из равенства (33) следует, что траектория точки может быть получена из траектории точки параллельным переносом всех ее точек на постоянный вектор .

Дифференцируя по времени соотношение (33), получим

или . (34)

Дифференцируя по времени (34), имеем

или . (35)

Следовательно доказана следующая теорема: при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории, совпадающие при параллельном переносе, и обладают в любой момент времени геометрически равными скоростями и ускорениями.

Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки (например ) и выражается уравнением

.

6.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси и кинематические характеристики этого движения

Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две его точки остаются неподвижными.

Все точки тела, лежащие на этой неподвижной оси также являются неподвижными. Эта ось, например ось (рис. 8) называется осью вращения тела. Проведем через ось две полуплоскости: неподвижную и подвижную , неизменно связанную с вращающимся телом. Угол между этими полуплоскостями называется углом поворота тела. Будем считать его положительным, если смотря с положительного конца оси видим его отложенным от полуплоскости до полуплоскости в направлении против хода часовой стрелки и отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Положение твердого тела с неподвижной осью вполне определяется углом поворота . При вращении тела угол изменяется, являясь функцией времени:

. (36)

Э та зависимость называется уравнением (или законом) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Угол измеряется в радианах. Радианом называется центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Числовое значение угла в радианах равно отношению длины дуги к радиусу, т.е. оно – отвлеченное число.

Если угол поворота выражается числом полных оборотов , то угол в радианах равен

. (37)

Угловая скорость вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела характеризует быстроту и направление вращения тела в данный момент времени .

Угловая скорость обозначается буквой и равна первой производной по времени от угла поворота тела

. (38)

Знак угловой скорости указывает направление вращения тела: если тело вращается в направлении против хода часовой стрелки (наблюдая с положительного конца оси ) – то значение положительное, если – по ходу часовой стрелки – то оно отрицательное.

Модуль угловой скорости равен:

. (39)

Размерность угловой скорости будет:

. (40)

В технике угловую скорость задают числом оборотов в минуту. Тогда:

. (41)

Угловое ускорение вращающегося твердого тела характеризует быстроту изменения угловой скорости тела в данный момент времени.

Угловое ускорение обозначается буквой и равно первой производной от времени от угловой скорости, либо второй производной по времени от угла поворота

. (42)

Если знаки и одинаковы, то тело вращается ускоренно, если они противоположные – то замедленно.

Размерность углового ускорения тела

. (43)

Модуль углового ускорения равен

. (44)

Рассмотренные кинематические характеристики: угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение относятся к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, как к единому целому.

Частные случаи равномерного и равнопеременного вращений твердого тела вокруг неподвижной оси изучаются самостоятельно (см. [2], с. 162,163).