Раздел 7. Сложное движение точки

7.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки

В некоторых задачах механики целесообразно рассматривать движение точки одновременно по отношению к двум системам отсчета. Одна из этих систем условно считается неподвижной; другая движется по отношению к первой. Такие задачи возникают, например, при исследовании движения точки или тела, находящихся на каком-либо подвижном объекте: ракете, самолете, корабле, автомобиле и т.п.

Пусть точка перемещается по отношению к системе отсчета , неизменно связанной с переносящим объектом (или переносящей средой) , а сама система вместе с переносящим телом движется относительно неподвижной системы отсчета (рис. 11).

Движение точки по отношению к системе отсчета (переносящему объекту ) называется относительным движением, а траектория, скорость и ускорение в этом движении – относительными траекторией, скоростью и ускорением. Движение точки по отношению к неподвижным осям называется абсолютным, а ее скорость и ускорение в этом движении – абсолютными скоростью и ускорением точки.

Движение подвижной системы отсчета (т.е. движение переносящего объекта ) относительно неподвижной системы отсчета называется переносным.

Скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета (переносящего объекта ), с которой в данный момент совпадает точка , называется переносной скоростью и переносным ускорением.

Абсолютное движение называют также сложным движением точки, так как его можно рассматривать слагающимся из переносного и относительного движений. Этот прием позволяет существенно упростить решение задач сложного движения.

7.2. Теоремы о сложении скоростей и о сложении ускорений

Р ассмотренные скорости и ускорения связаны между собой двумя теоремами, вывод которых предлагается рассмотреть самостоятельно.

Первая из этих теорем называется теоремой о сложении скоростей и формулируется следующим образом: абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Аналитически эта теорема имеет следующий вид:

. (59)

Рисунок 12 иллюстрирует эту теорему.

Модуль абсолютной скорости равен

. (60)

Здесь - угол между векторами .

Вторая из теорем называется теоремой о сложении ускорений (теоремой Кориолиса). Она формулируется так: абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Эта теорема остается справедливой для любого случая переносного движения вместе с подвижной системой отсчета и аналитически записывается следующим образом:

. (61)

Вектор называется кориолисовым (поворотным) ускорением и характеризует связь между переносным и относительным движениями. Это ускорение определяется формулой:

. (62)

Модуль кориолисова ускорения равен

. (63)

Здесь - угол между векторами и (рис. 13).

Вектор направлен перпендикулярно плоскости , содержащей векторы и , в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на меньший угол между ними наблюдается происходящим против хода часовой стрелки (рис 13).

Отметим, что при этом вектор условно прикладывается в точке .

В соответствии с (63) кориолисово ускорение обращается в нуль, когда переносное движение является поступательным ( ), а также в случаях:

а) когда ;

б) когда , т.е. в случае относительного покоя точки или в те моменты времени, когда относительная скорость обращается в нуль.

В заключение отметим, что относительное ускорение характеризует быстроту изменения вектора только в относительном движении; переносное ускорение характеризует быстроту изменения вектора , вызванную только переносным движением; кориолисово ускорение характеризует быстроту изменения относительной скорости , вызванную переносным движением, а также быстроту изменения , вызванную относительным движением.

Вопросы для самопроверки к разделу 7

1. Приведите примеры сложного движения точки.

2. Дайте определение относительной скорости и относительного ускорения точки.

3. Какое движение точки называется переносным? Что называется переносными скоростью и ускорением точки?

4. Дайте определение абсолютного движения точки? Что называется абсолютными скоростью и ускорением точки?

5. Сформулируйте теорему сложения скоростей? Как по известным абсолютной и относительной скоростям найти переносную скорость точки?

6. Сформулируйте теорему Кориолиса.

7. Как найти модуль и направление вектора кориолисова ускорения?

8. Назовите, в каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю.

9. Решите самостоятельно задачи 22.15, 22.18, 23.5, 23.17, 23.27, 23.28. из [3] или [10].