Раздел 8. Плоское движение твердого тела
8.1. Определения
Плоским, или
плоскопараллельным, движением твердого
тела называется такое движение, при
котором все его точки перемещаются в
плоскостях, параллельных некоторой
неподвижной плоскости
.
Движение многих звеньев различных механизмов, качение колеса по неподвижной поверхности – примеры плоского движения.
Мысленно рассечем
тело неподвижной плоскостью
,
параллельной плоскости
(рис. 14). В сечении получим некоторую
плоскую фигуру
.
Согласно определению плоского движения,
фигура
движется, не выходя из плоскости
.
Проведем
через какую-либо точку
тела прямую
,
пересекающую фигуру
в точке
и перпендикулярную этой фигуре. Так как
фигура перемещается в плоскости
,
то прямая
при движении тела остается параллельной
своему начальному положению. Следовательно,
эта прямая движется поступательно и
все остальные точки тела, лежащие на
ней, движутся точно так же, как и точка
,
принадлежащая плоской фигуре
.
Отсюда следует, что при изучении плоского движения твердого тела можно ограничиться изучением движения плоской фигуры в плоскости .
8.2. Уравнения плоского движения
Положение плоской
фигуры
вполне определяется положением любых
двух ее точек, например,
и
,
или положением отрезка
,
или положением подвижной системы отсчета
,
неизменно связанных с этой фигурой,
относительно неподвижной системы
отсчета
,
связанной с неподвижной плоскостью
(рис. 15). Кроме того, введем в рассмотрение
подвижную систему отсчета
с началом в точке
,
называемой полюсом;
причем оси
и
движутся поступательно относительно
системы
так, что эти оси остаются все время
параллельными осям
и
.
Для определения
положения системы
,
а следовательно и фигуры
,
относительно системы
достаточно задать координаты
,
положения полюса
,
а также угол
между осями
и
,
отсчитываемый от оси
в направлении, обратном ходу часовой
стрелки.
При движении плоской фигуры в плоскости (плоскость чертежа) эти независимые скалярные параметры - непрерывные функции времени
(64)
Уравнения (64) называются уравнениями плоского движения.
Из этих уравнений видно, что плоское движение можно мысленно представить как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с полюсом (вместе с системой ) и вращательного движения относительно полюса. Фактически вращение вокруг полюса является вращением вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости .
Поступательное движение определяется первыми двумя из уравнений (64), вращательное – последним из них. Поскольку различные точки фигуры движутся, вообще говоря, неодинаково, то поступательное движение зависит от выбора полюса.
Легко показать, что кинематические характеристики вращательного движения не зависят от выбора полюса. Действительно, угол поворота не зависит от выбора полюса, так как при любом его положении оси остаются параллельными оси , а ось также не меняет своего положения относительно неподвижной системы отсчета при параллельном переходе от одного полюса к другому, поскольку это свойство поступательного движения.