Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины ( , ) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

.

Зная плотность совместного распределения , можно найти совместную функцию распределения по формуле

следующей из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).

Смысл плотности совместного распределения вероятностей: вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (с вершиной в точке и сторонами и равна произведению , когда стороны этого прямоугольника стремятся к нулю.

В связи с этим, вероятность попадания случайной точки в произвольную область D равна двойному интегралу по области D от функции :

Свойства двумерной плотности вероятности

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице: .

Независимые случайные величины

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Теорема. Для того чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы ( , ) была равна произведению функций распределения составляющих:

.

Следствие. Для того чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы ( , ) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

.

Для независимых случайных величин справедливы соотношения

.

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Для системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики, такие как корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент

Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожидание произведения отклонений и от их математических ожиданий. Это так называемый корреляционный момент или ковариация:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин – формулу:

Если корреляционный момент случайных величин X и Y отличен от нуля, то данные величины являются зависимыми.

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство. Так как и – независимые случайные величины, то их отклонения и также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим:

.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин и . Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин и для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Для устранения этого недостатка вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.