- •Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
- •Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности Понятие случайного эксперимента.
- •Пространство элементарных событий.
- •Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •Свойства операций над событиями.
- •Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •Лекция 3. Методы определения вероятностей событий
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
- •Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •Вероятностное пространство
- •Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса Полная группа событий.
- •Условная вероятность.
- •Формула умножения вероятностей.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Правила суммы и произведения.
- •Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли
- •Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Понятие потока событий.
- •Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей событий с использованием функций и плотностей распределения
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •Свойства функции распределения
- •Плотность распределения вероятностей.
- •Лекция 7. Основные параметры распределений одномерных случайных величин.
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства
- •Свойства функции Гаусса.
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •О тклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •Лекция 10. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двух случайных величин
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева.
- •Центральная предельная теорема.
- •Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности.
- •Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •Полигон и гистограмма
- •Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин Эмпирическая функция распределения
- •Важнейшие свойства статистических оценок
- •Надежность и доверительный интервал.
- •Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Лекция 15. Проверка статистических гипотез.
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
- •Лекция 16. (уир) Понятие о регрессионном анализе
- •Понятие о регрессионном анализе
- •Выборочные уравнения регрессии.
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель.
- •Обратная модель.
- •Степенная модель.
- •Показательная модель.
- •Лекция 17 (уир). Понятие о корреляционном анализе.
- •А. Парная корреляция
- •Б. Множественная корреляция
- •Лекция 18 (уир). Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода.
- •Равенство Маркова
- •Лекция 19 (уир). Цепи Маркова с непрерывным временем.
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Лекция 20 (уир). Системы массового обслуживания.
- •Расчет характеристик систем массового обслуживания Одноканальные модели а. Одноканальная модель с отказами
- •Б. Одноканальная модель с ожиданием
- •Многоканальные модели
Лекция 19 (уир). Цепи Маркова с непрерывным временем.
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени.
Время наступления событий часто предсказать заранее невозможно. Например, любая деталь устройства или агрегат могут выйти из строя в любой, непредсказуемый момент времени. Описание таких, и гораздо более сложных ситуаций возможно при использовании формализма непрерывных цепей Маркова.
Пусть система характеризуется состояниями , и переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени. Обозначим через вероятность того, что в момент времени система будет находиться в состоянии . Требуется определить для любого момента времени вероятности состояний . При этом, очевидно, должно выполняться условие нормировки
.
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей рассматриваются плотности вероятностей перехода , представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время из состояния в состояние к величине :
, (1)
где - вероятность того, что система, пребывавшая в момент в состоянии , за время перейдет из него в состояние ; при этом всегда .
Если , то процесс называется однородным, если же , то – неоднородным.
При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято считать, что переходы системы происходят под влиянием некоторых потоков событий.
Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим через какие-то случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как интенсивность соответствующих потоков событий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, является марковским.
Марковские процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (Рис. 1), где кружками обозначены состояния системы, а стрелками – возможные ее переходы. Задержки в прежнем состоянии изображают “петлей”, т.е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным.
Рис. 1. Граф состояний системы .
Как правило, в графе состояний над стрелками проставляют соответствующие переходам интенсивности . Такой граф называют размеченным.
Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний.
В случае марковской системы с непрерывным временем и конечным числом состояний их вероятности могут быть найдены с помощью решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова:
, (2)
где .
Величина называется потоком вероятности перехода из состояние в состояние .
Уравнения Колмогорова составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь следующим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.
Решение системы уравнений Колмогорова необходимо задать начальное распределение вероятностей . Как правило, за исключением особенно простых систем, решение возможно получить лишь численными методами.