Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.
Теорема.
Наивероятнейшее число наступлений
события
в
независимых испытаниях заключено между
числами
и
.
Следует
отметить, что наивероятнейших
чисел может быть два или одно в зависимости
от того, является np+p
целым числом или нет. Если это число
нецелое, то наивероятнейшее число
(целая часть), в противном случае имеется
два значения
и
Предельные теоремы для схемы Бернулли.
Если число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. В этом случае можно применять приближенные формулы, точность которых увеличивается с возрастанием .
Теорема Пуассона.
Теорема:
Если вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и мала, а
число независимых испытаний
достаточно велико, то вероятность того,
что событие
наступит
раз, приближенно равна
,
где
.
Доказательство:
Введем
обозначение
,
выразим отсюда
и подставим это выражение в формулу
Бернулли:
.
При
все выражения в скобках, за исключением
предпоследнего, можно принять равными
единице, т.е.
.
При
,
поэтому
,
что и требовалось доказать.
Понятие потока событий.
Формула
Пуассона находит применение в теории
массового обслуживания. Она может
рассматриваться как математическая
модель простейшего
потока событий
с интенсивностью
.
Параметр
представляет при этом среднее
число успехов.
Потоком
событий
называют последовательность событий,
которые наступают в случайные моменты
времени. Интенсивностью
потока
называют среднее число событий в единицу
времени. Простейшим (пуассоновским)
называют поток событий, который обладает
свойствами стационарности,
отсутствия
последействий
и ординарности.
Свойство
стационарности характеризуется тем,
что вероятность
появления
событий на любом промежутке времени
зависит только от числа
и от длительности промежутка времени
и не зависит от начала его отсчёта.
Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка, т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий.
Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени маловероятно по сравнению с вероятностью появления только одного события.
Если
интенсивность простейшего потока
известна, то вероятность появления
событий за время
определяется формулой
Пример простейшего потока событий. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 4 вызова.
Подставляя
в вышеприведенную формулу
,
получим
Локальная теорема Муавра –Лапласа.
Лапласом
была получена важная приближенная
формула для вероятности
появления события
точно
раз, при условии, что
достаточно велико. В отличие от формулы
Пуассона здесь нет ограничения на
малость величины
в отдельном испытании, т.е. область
применимости формулы Лапласа шире.
Теорема. Вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа
где
.
Формулу Лапласа иногда называют асимптотической формулой, поскольку доказано, что относительная ошибка формулы Лапласа стремится к нулю при .