- •Содержание
- •Тема 1 6
- •Введение
- •Тема 1 Матрицы
- •Примеры решения задач
- •Тема 2 Свойства определителей
- •Примеры решения задач
- •Тема 3 Обратная матрица. Матричные уравнения.
- •Примеры решения задач
- •Тема 4 Система линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Примеры решения задач
- •Тема 5 Ранг матрицы слау.
- •Примеры решения задач
- •Тема 6 Однородная система линейных уравнений. Фср.
- •Примеры решения задач
- •Тема 7 Линейная зависимость векторов. Базис и размерность линейного пространства.
- •Примеры решения задач
- •Тема 8 Линейные операторы.
- •Тема 9 Квадратичные формы.
- •Тема 10 Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи.
- •Тема 11 Кривые второго порядка.
- •Тема 12 Прямая и плоскость в пространстве.
- •Тема 13 Векторная алгебра.
- •Справочные материалы
- •Перечень умений
- •Литература
Тема 2 Свойства определителей
Контрольные вопросы.
Что значить разложить определитель по элементам строки (столбца).
Запишите схематично «правило треугольника».
Запишите теорему Лапласа.
Сформулируйте свойства определителя и на примере определителя 3-го порядка, написанного в общем виде докажите их.
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислит величину определителя .
Решение. Рассмотрим три способа нахождения величины определителя.
1 способ основан на разложении определителя (теорема Лапласа), например, по первой строке.
.
2 способ использует правило треугольников (правило Саррюса).
3 способ основан на приведении определителя к треугольному виду. Определитель же треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
Последний способ прекрасно работает с большими определителями.
Задания.
Вычислите определители 2-го порядка
Вычислите определитель 3-го порядка
Решите уравнение
Решите неравенство
Используя свойства определителя доказать следующие тождества (определители не развертывать):
Вычислить следующие определители используя свойства
Вычислить определители; получив максимальное число нулей в строке или столбце:
Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями .
Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями
Найти значение параметра С, при котором величина определителя матрицы станет равной .
Тема 3 Обратная матрица. Матричные уравнения.
Контрольные вопросы.
Какая матрица называется обратной по отношению к матрице .
Свойства обратных матриц.
Какая матрица имеет обратную?
Формула для вычисления .
Запишите решение для матричных уравнений вида: .
Примеры решения задач
Пример 1. Для матрицы найти обратную .
Решение. Метод присоединенной матрицы. Найдем определитель матрицы . Транспонируем матрицу А. .
Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам транспонированной. Например, и так далее. Тогда обратная матрице вычисляется по такой формуле: .
Пример 2. Решить матричное уравнение, считая все матрицы, участвующие в преобразованиях, невырожденными. .
Решение. Воспользуемся свойствами транспонированной и обратной матриц: Вынесем матрицу за скобки и умножим уравнение слева на матрицу . . Таким образом, решением матричного уравнения является матрица .
Задания.
При каких значениях матрица не имеет обратной
Найти
Решить матричные уравнения
Вычислить значение при
Решить систему матричных уравнений
Решить матричные уравнения
Тема 4 Система линейных алгебраических уравнений (слау)
Контрольные вопросы.
Когда система линейных уравнений называется Крамеровской?
Запишите формулы для нахождения решения такой системы.
Запишите в развернутом виде матричное уравнение:
Что такое «прямой» ход метода Гаусса?