Тема 11 Кривые второго порядка.

1. Контрольные вопросы.

1. Запишите общее уравнение кривых второго порядка.

2. Запишите канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

3. Как связаны параметры a, b, c у кривых второго порядка?

4. Что такое эксцентриситет кривых?

5. Свойство фокальных расстояний кривых второго порядка.

2. Задания.

1. Составить уравнение окружности, проходящей через точки .

Ответ:

2. Найти значение a, при котором окружность касается прямой . Найти точку касания.

Ответ:

3. Определить эксцентриситет эллипса, если его большая ось втрое больше малой?

Ответ:

4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0,8. Найти расстояние между фокусами.

Ответ:

5. Эллипс проходит через точки. Составить уравнение эллипса и найти расстояние от точки до фокусов.

Ответ:

6. Составить каноническое уравнение гиперболы . Найти координаты её фокусов и вершин, эксцентриситет и уравнение асимптот

7. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки .

Ответ:

8. Дан эллипс . Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

Ответ:

9. Составить уравнение параболы и её директрисы, если известно, что парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Ответ:

10. Уравнение описывает окружность радиуса 5 с центром в точке (3;2). Определить все коэффициенты этого уравнения.

11. На гиперболе найти точку, ближайшую к точке (3;0).

12. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в эллипс .

13. Записать уравнения касательных к эллипсу , параболе и гиперболе в произвольной точке касания .

14. Найти точки пересечения эллипса и гиперболы .

Тема 12 Прямая и плоскость в пространстве.

1. Контрольные вопросы.

1. Записать уравнение плоскости

• перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку

• в отрезках.

2. Как можно задать прямую в пространстве?

3. Запишите условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

4. Дана прямая и плоскость .

Запишите:

• условие параллельности прямой и плоскости;

• условие перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Задания.

1. Определить, лежат ли точки в одной плоскости?

2. Координаты вершин треугольника . Найти длину его высоты, опущенной из вершины .

3. Координаты вершин тетраэдра , а его объем равен пяти. Найти значение неизвестной координаты.

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям .

7. Найти расстояние между парой параллельных плоскостей .

8. Вывести уравнение прямой образованной парой пересекающихся плоскостей (переход от общего уравнения прямой к параметрическому уравнению той же прямой).

9. Найти точку, симметричную относительно плоскости .

10. Найти точки пересечения прямой с координатами плоскости.

11. В какой точке прямая пересекает плоскость ?

12. Найти длины перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые .