- •Содержание
- •Тема 1 6
- •Введение
- •Тема 1 Матрицы
- •Примеры решения задач
- •Тема 2 Свойства определителей
- •Примеры решения задач
- •Тема 3 Обратная матрица. Матричные уравнения.
- •Примеры решения задач
- •Тема 4 Система линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Примеры решения задач
- •Тема 5 Ранг матрицы слау.
- •Примеры решения задач
- •Тема 6 Однородная система линейных уравнений. Фср.
- •Примеры решения задач
- •Тема 7 Линейная зависимость векторов. Базис и размерность линейного пространства.
- •Примеры решения задач
- •Тема 8 Линейные операторы.
- •Тема 9 Квадратичные формы.
- •Тема 10 Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи.
- •Тема 11 Кривые второго порядка.
- •Тема 12 Прямая и плоскость в пространстве.
- •Тема 13 Векторная алгебра.
- •Справочные материалы
- •Перечень умений
- •Литература
Тема 8 Линейные операторы.
Контрольные вопросы.
Определение оператора.
Пусть каждому вектору ставится в соответствие по определенному правилу вектор . Это правило называется отображением, или преобразованием, или оператором. Обозначение:
Какой оператор является линейным?
Запишите преобразование матрицы линейного оператора при переходе от старого базиса к новому
- матрица перехода от старого к новому.
Собственные векторы и собственное значение линейного оператора.
Вектор называется собственным вектором оператора, если существует такое число , что .
Число называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору . Величина есть корень характеристического уравнения .
Задания.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.
Матрица линейного оператора задана в старом базисе. Какой вид имеет матрица оператора в новом базисе?
Тема 9 Квадратичные формы.
Контрольные вопросы.
Определение квадратичной формы
Выражение вида называется квадратичной формой переменных
Запишите квадратичную форму в матричном виде
В каком случае квадратичная форма называется канонической?
Критерии оценки знакоопределенности квадратичной формы
Название формы |
Обозначение |
Оценка знакоопределенности формы |
|
По минорам матрицы L |
По собственным значениям матрицы L |
||
Положительно определенная |
|
Если все угловые миноры положительны |
Если все собственные значения положительны |
Отрицательно определенная |
|
Если в угловых минорах чередуются знаки, начиная с |
Если все собственные значения отрицательны |
Положительно полуопределенная |
|
Если все главные миноры неотрицательны |
Если все собственные значения неотрицательны |
Отрицательно полуопределенная |
|
Если в главных минорах чередуются знаки, начиная |
Если все собственные значения неположительны |
Неопределенная |
|
|
Если все собственные значения имеют разные знаки |
Равная нулю |
|
|
Если все собственные значения равны нулю |
Задания
Записать квадратичную форму в матричном виде
Найти квадратичную форму , полученную из квадратичной формы в результате действия линейного оператора (линейное преобразование )
Привести к каноническому виду квадратичной форме методом Лагранжа.
Используя собственные значения и собственные векторы матрицы квадратичной формы, привести её к каноническому виду.
Тема 10 Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи.
Контрольные вопросы.
Записать расстояние между двумя точками .
Как находятся координаты точки делящей отрезок с концами в отношении ?
Записать уравнение прямой:
с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b;
проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом k) через данную точку ;
проходящей через две данные точки ;
в отрезках;
общее.
Как находится расстояние от точки до прямой ?
Задайте угол между прямыми .
Запишите условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Задания.
Написать уравнение прямой линии на плоскости:
проходящей через произвольную точку (a;b) под углом к оси ординат;
проходящей через произвольную точку (a;b) и на расстоянии d от начала координат;
пересекающей координатные оси в точках (a;0), (0;b).
Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых .
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки .
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям .
Найти расстояние между парой параллельных плоскостей .
Вывести уравнение прямой образованной парой пересекающихся плоскостей (переход от общего уравнения прямой к параметрическому уравнению той же прямой).
Найти точку, симметричную относительно плоскости .
Найти точки пересечения прямой с координатами плоскости.
В какой точке прямая пересекает плоскость ?
Найти длины перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые .