- •Колебания.
- •Определение колебательного процесса. Условие периодичности. Гармонические колебания. Амплитуда, частота, период, начальная фаза.
- •2)Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника. Частота, период.
- •3 ) Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Частота, период.
- •4 ) Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний колебательно контура. Частота, период.
- •6) Затухающие колебания в среде с вязким трением. Логарифмический декремент, добротность.
- •8)Сложение колебаний близких частот.
- •9)Сложение ортогональных колебаний одинаковых и кратных частот.
- •10)Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
- •11)Резонанс. Амплитудно-частотная характеристика. Влияние затухания на ход характеристики.
- •12) Резонанс. Фазово-частотная характеристика.
- •13) Автоколебания. Примеры. Роль обратной связи в автоколебательных процессах.
- •13)Параметрические колебания. Отличие их от вынужденных колебаний. Уравнение Матьё. Диаграммы Матьё. Условия параметрического резонанса.
- •1 4)Спектральный состав сигнал. Амплитудно-модулированный сигнал. Параметры спектральных диаграмм. Фурье-анализ и Фурье-синтез.
6) Затухающие колебания в среде с вязким трением. Логарифмический декремент, добротность.
В среде с вязким трением при движении пружинного маятника кроме сил тяжести и упругости, действует сила трения, величина которой пропорциональна скорости: Fтр = rv. (Здесь r - коэффициент сопротивления; измеряется в кг/с). Поэтому дифференциальное уравнение принимает вид: где = r/(2m) - коэффициент затухания; измеряется в с-1. Известно из практики, что амплитуда затухающих колебаний должна убывать и что благодаря трению колебательный процесс будет "тормозиться", т.е. время одного колебания будет больше. Будем поэтому искать решение в виде где функцию A(t) и "новую" частоту еще предстоит определить. Дифференцируя, получим и . Подставляя в, получим Уравнение типа выполняется для любого значения t только, если M 0 и N 0. Приравнивая нулю коэффициенты при сos и sin, получим систему дифференциальных уравнений
в торое из которых дает . Чтобы найти константу С, нужно задать начальные условия. Будем считать, что при t=0 . Тогда . Получим
и окончательно Осталось найти частоту . Для этого вычислим производные и подставим их в первое уравнение. Получим , откуда Это частота затухающих колебаний. Как видно, предполагаемая "колебательная" форма решения имеет смысл лишь при o > . Подставляя соотношения, получим решение в виде
.
Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:
Если отклонения разделены не одним, а N периодами, то нетрудно видеть, что . Если выражение в скобках равно числу "е", то = 1/Ne , то есть логарифмический декремент - это число, обратное количеству колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз. Это произойдет через время = 1/, которое называется временем релаксации. Поскольку полная энергия Е пропорциональна квадрату амплитуды, то , а величина скорости убывания энергии равна , и если за условный период Т энергия меняется мало, то последнее соотношение можно записать как , где Е - убыль энергии за период. Добротность – мера, характеризующая сохранение энергии в системе. Добротностью колебательной системы называется величина Q, определяемая следующим Аобразом:
.Из определения логарифмического декремента следует, что для << 1 добротность .
7) Затухающие колебания в среде с вязким трением. Апериодический и переходные режимы.
А периодический режим – процесс при котором тело без колебательного процесса идет к положению равновесия. Нулевое положение называется устойчивым узлом. При равенстве о = решение будет иным (переходный режим):
.
8)Сложение коллинеарных колебаний одинаковых частот. Биения, частота и период биений.
С ложение коллинеарных колебаний (т.е. однонаправленных) можно проиллюстрировать демонстрацией поведения двух маятников, связанных пружиной, или картинкой на экране осциллографа, на вход Y которого подаются гармонические колебания одновременно с двух генераторов. Рассмотрим случай, когда складываются колебания одинаковых частот w1 = w2 = w с амплитудами А1 и А2. Это все равно, что две струны, настроенные в унисон. Известно, что в этом случае результатом будет усиленный звук некоторой амплитуды А той же частоты. Новая амплитуда А и новая начальная фаза a: Возводя каждое из них в квадрат и складывая, получим Поделив ,получим для новой начальной фазы: