10)Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

К олебания, происходящие под действием внешней периодической силы, не изменяющей параметров системы, называются вынужденными. Под параметрами имеются в виду характеристики системы, от которых зависит период (или частота) колебаний. Так например для пружинного маятника параметрами является масса груза и коэффициент жесткости пружины, поскольку именно от них зависит период ( ). Действие внешней силы будет сводиться к "подталкиванию" системы, но не к изменению параметров. Рассмотрим пружинный маятник, пружина которого верхним концом прикреплена к эксцентрику мотора, вращающегося с угловой скоростью  (рис. 6.1). В этом случае на маятник действует внешняя периодическая сила F(t) c циклической частотой  и амплитудой F_o . Поэтому с учетом силы вязкого трения получим , откуда Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. В нем, как и прежде,  = r / (2m) -коэффициент затухания, - собственная частота колебаний. Уравнение (6.1) с ненулевой правой частью называется неоднородным. Его общее решение (содержащее две константы, определяемые начальными условиями) состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения затухающих колебаний ,и какого-нибудь частного решения (t) неоднородного уравнения: Частное решение во многих случаях находят подбором вариантов, примерно зная, как ведет себя система. Известно, что колебания будут происходить с частотой , которая навязывается системе внешней силой, а не с собственной частотой _o.

11)Резонанс. Амплитудно-частотная характеристика. Влияние затухания на ход характеристики.

Рассмотрим амплитудно-частотную характеристику. На рис. 6.3 показана АЧХ для различных коэффициентов затухания . Из рисунка видно, что при некотором значении  < _O вблизи собственной частоты _о амплитуда а установившихся вынужденных колебаний достигает максимального значения. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при некотором значении частоты внешнего воздействия  = _р называется резонансом, а максимальное значение амплитуды называется резонансной амплитудой. При  = 0 амплитуда а  , а при возрастании  амплитуда убывает. При достаточно большом затухании АЧХ становится монотонно убывающей функцией без максимума. Проведем некоторые количественные расчеты. Прежде всего определим резонансную частоту. Для этого продифференцируем первое из уравнений (6.3) и приравняем производную нулю, чтобы найти экстремум функции a():

.Отсюда следует, что [...] = 0. Получим после простых преобразований: .

Таким образом, действительно _р < _о, и с возрастанием затухания резонансная частота сдвигается влево. При   0 получим амплитуду при очень малых частотах a_o = F_o/(m_o²). Подставляя (6.5) в (6.3), получим амплитуду при резонансе . При малом затухании (<<_o) и отношение .

Поэтому добротность можно вычислить непосредственно из АЧХ. При _o   добротность Q  1/2 - и начинается апериодический процесс (монотонная кривая на рис. 6.3).

12) Резонанс. Фазово-частотная характеристика.

Ф азово-частотная характеристика () имеет вид, показанный на рис. 6.4. При  = 0 функция претерпевает разрыв и имеет вид ступеньки.

Электрическим аналогом только что рассмотренной механической системы является колебательный контур с последовательно включенным генератором внешней э.д.с. E(t) = E_ocos t (рис. 6.5).

Н етрудно видеть, что дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в контуре с последовательным возбуждением имеет форму

или и так далее с решением в виде (6.4), где следует сделать замены F_o  E_o и m L.

Р оль резонанса в технике трудно переоценить (как положительную, так и отрицательную). Хрестоматийным случаем является падение моста, когда по нему "в ногу" проходила рота солдат. (Произошло это, кстати, в 1920-х годах на мосту Тахома в США). Сходные ситуации возникают с консольными балками, на которых устанавливается мотор. Благодаря резонансу стал возможным прием удаленных радиостанций. На рис. 6.6 показана схема простейшего и забытого ныне детекторного приемника, с кото-рого начиналась деятельность едва ли не каждого юного радиолюбителя 1950-х годов. Левая катушка, соединенная с антенной и заземлением, является приемной. На нее поступают слабые сигналы окружающих нас радиостанций, вещающих на разнообразных несущих частотах. Индуктивно связанная с ней правая катушка вместе с конденсатором переменной емкости образует колебательный контур. Настройка сводится к изменению емкости конденсатора и, следовательно, к изменению собственной частоты o контура. При резонансе с одной из несущих частот (o  ) с контура будет сниматься усиленный благодаря резонансу амплитудно-модулированный сигнал именно этой несущей частоты , имеющий вид, как на рис. 4.5. На этом роль резонанса в радиоприеме заканчивается. Объясним все же вкратце, что происходит дальше.

Сложный АМ-сигнал высокой несущей частоты  содержит в своем спектре полезную низкочастотную составляющую звукового диапазона ', которую и требуется выделить. Эту роль играет нелинейный кристалл-преобразователь D - детектор. Поэтому в правой цепи уже в явном виде присутствует полезный сигнал ', который и прослушивается при помощи наушников. Через правый конденсатор, подключенный параллельно наушникам, проходит высокочастотная составляющая, минуя наушники, поскольку по высокой частоте они имеют большее сопротивление, чем конденсатор.

Хотя рассмотренная схема и является самой примитивной из всех возможных, входной колебательный контур, обеспечивающий резонанс для сигнала принимаемой радиостанции, является обязательным элементом любого современного радиоприемного устройства.

Резонанс используется для очистки поверхностей от нагара и различных наслоений, когда применение абразивных материалов нежелательно, а то и просто невозможно. Для усиления звука в музыкальных инструментах (гитара, рояль, скрипка и др.) используется дека, представляющая собой полый резонатор (гитара, скрипка) или же деревянный каркас на металлической раме (рояль). В духовых музыкальных инструментах сам способ извлечения звука непосредственно связан с использованием резонансных свойств объема полости, а многие музыкальные инструменты народов Африки имеют целую систему разновеликих полых резонаторов, для изготовления которых используется оболочка тыквы.